(新)绝对值不等式.ppt

O ?A ?| | ax a0关于绝对值还有什么性质呢? 表示数轴上坐标为 a的点 A到原点 O的距离. 二、绝对值不等式证明:1 0 .当ab≥0时, | |, | | ( ) | | | || | | | (| | | |) | | | | 2 2 2 2 2 222 ?? ??? ??? ??? ?? ? ab ab a b a b a ab b a a b b a b a b 2 <0时, | |, | | ( ) | | | | | | | | | || | | | (| | | |) | | | | 2 2 2 2 2 2 2 2 222 ??? ??? ??? ??? ??? ?? ? ab ab a b a b a ab b a ab b a a b b a b a b 综合 1 0,2 0知定理成立. a ? b ? a b ?? ? a ?b ? a b ?? ?定理 2如果 a、b、c是实数, -- ------ 那么|a- c|≤|a-b|+|b-c | -- ----- 当且仅当(a- b)(b-c ) ≥0时,等号成立. 定理 3如果 a、b是实数, -- ------ 那么||a|-| b|| ≤|a+b| ≤|a|+|b | 当且仅当 ab≤0时,等号成立. 当且仅当 ab≥0时, a、b换成向量(或复数)仍成立例 1 已知ε>0,|x-a|<ε,|y-b|<ε, 求 2x+3y-2a-3b|<5ε证: 证明: |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)| ≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2 ε+3 ε=5 |2x+3y-2a-3b|<5 ε. 例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第 10km 和第 20km 处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? 分析: 假设生活区建在公路路碑的第 xkm 处,两个施工队每天往返的路程之和为 S(x)km ,则有 S(x )=2(|x-10|+|x-20|) ,要求问题化归为求该函数的最小值,可用绝对值三角不等式求解。· 10 ·x · 20 1:形如|x |<a和|x |>a (a >0 )的含绝对值的不等式的解集①不等式|x |<a的解集为{x|-a <x< a} ②不等式|x |>a的解集为{x|x<-a或x>a } 0 -aa0 -aa 绝对值不等式的解法解:对绝对值里面的代数式符号讨论: 5x-6 ≥ 0 5x-6<6-x (Ⅰ) 或(Ⅱ) 5x-6<0 -( 5x-6 )< 6-x 解(Ⅰ)得: 6/5 ≤ x<2 解(Ⅱ)得: 0<x<6/5 取它们的并集得:( 0,2) 解不等式| 5x-6 | < 6 – x (Ⅰ)当 5x-6 ≥ 0,即x≥ 6/5 时,不等式化为 5x-6<6-x ,解得 x<2, 所以 6/5 ≤x<2 (Ⅱ)当 5x-6<0, 即 x<6/5 时,不等式化为-(5x-6) < 6-x ,解得 x>0 所以 0<x<6/5 综合(Ⅰ)、(Ⅱ)取并集得( 0,2) 解: 解不等式| 5x-6 | < 6 – x 解: 分析:对 6-x 符号讨论, 当 6-x ≦0时,显然无解; 当 6-x>0 时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x) 由绝对值的意义,原不等式转化为: 6-x>0 -(6-x)<5x-6<(6-x) X<6 -(6-x)<5x-6 5x-6<(6-x) 0<x<2 进一步反思:不等式组中 6-x>0 是否可以去掉有更一般的结论: | f(x )|< g(x ) - g(x )< f(x )< g(x ) | f(x )|> g(x