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7年级暑期培训教材湘教版数学(教师版)谭珍国 第一讲绝对值一、知识结构: 数二、绝对值的意义: (1) 几何意义:一般地,数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值,记作|a| 。(2) 代数意义: ①正数的绝对值是它的本身; ②负数的绝对值是它的相反数; ③零的绝对值是零。也可以写成: ??????| | 0 a a a a a a ?????????当为正数当为0当为负数说明:(Ⅰ) |a| ≥0即|a| 是一个非负数; (Ⅱ) |a| 概念中蕴含分类讨论思想。三、经典例题例1. (数形结合思想)已知 a、b、c 在数轴上位置如图: 则代数式|a|+| a+b |+| c-a |-| b-c | 的值等于( A) A. -3a B. 2c-aC. 2a- 解: |a|+| a+b |+| c-a |-| b-c | =-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析: 解绝对值的问题时, 往往需要脱去绝对值符号, 化成一般的有理数计算。脱去绝 7年级暑期培训教材湘教版数学(教师版)谭珍国 对值的符号时, 必须先确定绝对值符号内各个数的正负性, 再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想,由a、b、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号,从而去掉绝对值符号,完成化简。例2. 已知: zx??0 ,0? xy ,且xzy??, 那么yxzyzx?????的值( C) A .是正数 B .是负数 C .是零 D .不能确定符号解:由题意, x、y、z 在数轴上的位置如图所示: 所以分析: 数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了 x、y、z 三个数的大小关系,为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴,但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3. (分类讨论的思想) 已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧, 两点之间的距离为 8, 求这两个数; 若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢? 分析:从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反, 即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数, 我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解:设甲数为 x ,乙数为 y 由题意得: yx3?, (1 )数轴上表示这两数的点位于原点两侧: 若x 在原点左侧, y 在原点右侧,即 x<0 , y>0 ,则 4y=8 ,所以 y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧, y 在原点左侧,即 x>0 , y<0 ,则-4y=8 ,所以 y=-2,x=6 (2 )数轴上表示这两数的点位于原点同侧: 若x、y 在原点左侧,即 x<0 , y<0 ,则-2y=8 ,所以 y=-4,x=-12 若x、y 在原点右侧,即 x>0 , y>0 ,则 2y=8 ,所以 y=4,x=12 例4. (整体的思想)方程 xx???2008 2008 的解的个数是( D) . 无穷多个分析:这道题我们用整体的思想解决。将 x-2008 看成一个整体,问题即转化为求方程 aa??的解, 利用绝对值的代数意义我们不难得到, 负数和零的绝对值等于它的相反数, 所以零和任意负数都是方程的解,即本题的答案为 D。例5. (非负性) 已知|ab- 2|与|a- 1| 互为相互数,试求下式的值. 0 )()(????????????yxzyzx yxzyzx 7年级暑期培训教材湘教版数学(教师版)谭珍国 1)1(????xx 2010 2008 186 164 142 1????????????????????? 1 1 1 1 1 1 2 2 2007 2007 ab a b a b a b ? ???? ??????分析:利用绝对值的非负性,我们可以得到: |ab- 2|=|a- 1| =0 ,解得: a=1,b=2 于是???????????? 1 1 1 1 1 1 2 2 2007 2007 ab a b a b a b ? ???? ?????? 2009 2008 2009 11 2009 12008 14 13 13 12 12 1 2009 2008 143 132 12 1?????????????????????在上述分数连加求和的过程中, 我们采用了裂项的方法, 巧妙得出了最终的结果. 同学们可以再深入思考, 如果题目变成求值,你有办法求解吗?有兴趣的同学可以在课下