定积分第五节.ppt

calculus § 广义积分一、无穷区间上的广义积分二、无界函数的广义积分(瑕积分) calculus 引例 21 A) 1dx x ??它的积分区间是无限长的,通常意义下的积分不存在,称之为无穷区间上的广义积分。 A21A1 lim dx x ???? A1 lim 1 1 A ??? ?? ??? ?? ? 10) 1Bdx x?这一个积分虽然积分区间是有限的,但是它区间端点处不连续,而且函数值趋于无穷大,故通常意义下的积分不存在,称之为无界函数的广义积分。 101 lim dxx ????? 0 lim 2 1 2 2 ???? ?? ??? ? calculus ? badx )x(f取,ab???? b lim 若极限存在, 则称此极限值为函数)(xf在无穷区间),[ ?? a上的广义积分. 记作:??? adx xf)(即???????? bab a dx )x(f lim dx )x(f这时也称广义积分??? adx xf)(收敛,否则,发散. 定义 定义 )x(f在无穷区间),a[ ??上连续, 设函数一、无穷区间上的广义积分 calculus 类似可定义, 设函数)(xf在无穷区间],(b ??上连续, ??? bdx )x(f????? baa dx )x(f lim 设函数)(xf在无穷区间),( ????上连续, ?????dx )x(f???? cdx )x(f???? cdx )x(f 其中 c 为取定的常数. 注意: 当且仅当右端两个广义积分都收敛时,左端的广义积分才收敛, 否则发散. calculus dx e x????0解 dx e x????0dx e bxb?????? 0 lim bxbe 0][ lim ??????]1[ lim b be ??????.1? xey ??x yo 1A 另解 dx e x????0 ????? 0][ xe1)( lim ??????? ? calculus dx x?????? 21 1解 dx x?????? 21 1dx x????? 021 1dx x????? 0 21 1 dx x aa?????? 021 1 lim dx x bb?????? 0 21 1 lim ] [arctan lim a a ????? b b arctan lim ????)2 ( ????2 ????解 dx x?????? 21 1dx x????? 021 1dx x????? 0 21 1 0] [arctan ???x ??? 0 arctan x )2 ( ????2 ???? calculus 1 1dx x p???收敛于;p1 1?发散. 证 dx x p??? 11 dxx bb????? 11 lim 当 1?p时,?? b bx 1 ln lim ????当 1?p时, dx x p??? 11 dx x bpb????? 11 lim bpbp x 1 11 lim ???????????????????????1,1 1 1,pp p 当 1?p时,当 1?p时, ????????????????p b pb1 1 lim 1 calculus )0( 1????adx x a p收敛于;1 1??p a p发散. 当 1?p时,当 1?p时, ???1 1dx xx???dx x??? 2 3dxx???12 3 1??2????发散 calculus : e1 a. ln dx x x ??? 2e1 b. (ln ) dx x x ??? e1 c. ln dx x x ????? lim lim lnln 0 ln Ae A A dxA x x ?? ??? ?????? 21 lim lim 1 1 (ln ) ln Ae A A dx x x A ?? ??? ?? ???? ?? ?? lim lim 2 ln 2 ln Ae A A dxA x x ?? ??? ?? ?????? ?? calculus e1 d. ln dxx ???注意到当 x e ?时, 1 1 ln