下面我们来系统且更进一步地认识不等式,从而进一步提高分析问题、处理问题的能力。这一结论虽很简单,却是我们推导或证明不等式的基础. 不等式的基本性质基本不等式解不等式的过程就是对不等式进行一系列同解变形的过程,同解变形的依据是什么? 证明不等式的最基本的思考是分析法——很多时候就是对要证的不等式进行变形转化。基本不等式 2 2 如果a,b∈R,那么a + b ≥2ab, 当且仅当a = b时等定理1: 号成立。 aa bb b 几何解释几何平均数(a、b 的) 算术平均数(a 、b 的) ?(基本不等式) a + b 如果a,b 0,那么≥ ab, 2 当且仅当a = b时等定理2: 号成立。算术平均数几何平均数几何解释 Oab D ab A CB 可以用来求最值(积定和小,和定积大) 例3答案例4 注:一正、二定、三等。例3求证:( 1)在所有周长相同的矩形中,正方-------------- 形的面积最大; (2) 在所有面积相同的矩形中,正方--------------- 形的周长最短. 例3求证:( 1)在所有周长相同的矩形中,正方-------------- 形的面积最大; (2) 在所有面积相同的矩形中,正方--------------- S 周长 L =2 x +2 y 设矩形周长为 L,面积为 S,一边长为 x,一边长为 y, 例 4: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 200 MNPQ 上建一座花坛,造价为每平方米 4300 元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米 210 元,再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价 80 元. (1) 设总造价为 S元,AD 长x 为米,试建立 S关于 x的函数关系式; (2) 当为何值时 S最小, 并求出这个最小值. Q DB C F AE HGPMN 解:设AM= y米 2 2 200- 4 200 4 x xy x y x ? ???因而 2 2 4200 210 4 80 2 S x xy y ? ????于是 0 10 2 x ? ?
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