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绝对值不等式的解法一、复习目标掌握解含绝对值的不等式的方法、、重点解析 . , 基本方法有如下几种: (1) 分段讨论: 根据|f(x)|= 去掉绝对值符号. - f(x), f(x)<0, f(x), f(x) ≥0, (2) 利用等价不等式:①|f(x)| ≤ g(x) ?- g(x) ≤ f(x) ≤ g(x). ②|f(x)| ≥ g(x) ? f(x) ≤- g(x) 或 f(x) ≥ g(x). ③两端同时平方: 即运用移项法则, 使不等式两边都变为非负数, 再平方, 从而去掉绝对值符号. 三、知识要点 2.|f(x)|<a(a>0) ?- a<f(x)<a; 1.|x| ≥ 0; |x|= x, x ≥0, - x, x<0. |x-a|的几何意义: 数轴上表示数 x与a的两点间的距离. |f(x)|>a(a>0) ? f(x)< -a或 f(x)>a; |f(x)|<g(x) ?- g(x)<f(x)<g(x); |f(x)|>g(x) ? f(x)< - g(x) 或 f(x)>g(x); |f(x)|>|g(x)| ?f 2 (x)>g 2 (x). |x- a|+|x - b|>c(a ? b)的绝对值不等式的解法有二: ①零点分区间讨论法; ②运用绝对值的几何意义. ||a| - |b|| ≤|a? b| ≤|a|+|b|. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件, 即: |a+b|=|a|+|b| ?ab ≥ 0; |a- b|=|a|+|b| ?ab ≤ 0; 典型例题 1 解不等式|x+1|+|x - 3|>5. 解:原不等式的解集是下面三个不等式组解集的并集: 满足②的x不存在; x< -1, -x- 1+3 - x>5. -1 ≤x ≤3, x+1+3 - x>5. ①或② x>3, x+1+x - 3>5. 或③由①得, x< - ; 32 由③得, x> . 72 ∴x< - 或 x> . 72 32∴原不等式的解集为(-∞, - )∪( , + ∞). 72 32 典型例题 1 解不等式|x+1|+|x - 3|>5. 另解:如图: 数轴上表示数-1, 3 的两个点之间的距离为 4, 点- ,到-1, 3 两点间的距离之和|x+1|+|x - 3|=5. 32 72故不难看出, 当x落在- 左侧或右侧时正好满足|x+1|+|x - 3|>5. 32 72 ∴原不等式的解集为(-∞, - )∪( , + ∞). 72 32 2 3-1 0 1 2 3 - 2 7x学一学, 练一练解下列不等式(1) 4<|2x-3|<7 (2) |x-2|< |x+1| (3) |x+2|- |x-1|<4 2)不等式|x- 4|+|x - 3|<a 有解, 求a的取值范围. 解:不等式|x- 4|+|x - 3|<a 有解即存在 x使 a>|x - 4|+|x -3|成立, ∴a大于数轴上表示数 3与4的两点间的距离 1, 故a的取值范围是(1, + ∞). 或先考虑无解时 a的范围. 1)不等式|x- 4|+|x - 3|>a 恒成立, 求a的取值范围. 3)不等式|x- 4|-|x + 3|<a 恒成立, 求a的取值范围. 4)不等式|x- 4|-|x + 3|>a 有解, 求a的取值范围. 典型例题 2 解法一零点分区间讨论解不等式| |x+3| - |x-3|| >3. 原不等式等价于: x< -3, |-x- 3+x - 3|>3, -3 ≤x ≤3, |x+3+x - 3|>3, x>3, |x+3 - x+3|>3. 或或即x< -3或-3 ≤x< - 或<x ≤3或 x>3. 32 32 ∴x< - 或 x> . 32 32∴原不等式的解集为(-∞, - )∪( , + ∞). 32 32 解法二两边平方原不等式等价于(|x+3| - |x- 3|) 2 >9. 即2x 2 +9>2|x 2- 9| ?(2x 2 +9) 2 >(2|x 2- 9|) 2. 即4x 2- 9>0. ∴x< - 或 x>