复素空间形复素螺旋(部分多様体论周辺.pdf

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複素空間形の複素螺旋について(部分多様体論とその周辺
Title )
Author(s) 前田, 定廣
Citation 数理解析研究所講究録, 907: 44-51
Issue Date 1995-05
URL http://hdl./2433/59479
Rights
Type Departmental Bulletin Paper
Textversion publisher
Kyoto University
数理解析研究所講究録
907 巻 1995 年 44-51 44
複素空間形の複素螺旋について
前田定連(島根大学理学部)
はじめに.
$M$ を$n$ 次元 Kaehler 多様体、$J$ と$<,$ $>$ をそれぞれ$M$ の複素構造とリーマン
$\gamma=\gamma(t)$ $t$
計量とする。( : $\gamma$ の弧長) を$M$ 上の$d(\leq 2n)$ 次の螺旋、$\{V_{1}, \cdots, V_{d}\}$
$\gamma$
を上のフレネ標構とするとき、我々は$\gamma$ の複素れい率(complex torsions) $\tau_{ij}(t)$
を次のように定義する: $\tau_{ij}(t)=<V_{i}(t),$ $JV_{j}(t)>$ $(1 \leq i<j\leq d)$ . Kaehler 多
様体上の螺旋の研究において複素れい率は重要な働きをする。我々は、すべての
複素れい率がそれぞれ–定である螺旋を複素螺旋(complex helix) と呼ぶことにす
る。論文[3] において、「複素空間形(即ち、複素射影空間、複素双曲空間または
複素ユークリッド空間) 内の任意の曲線$\gamma$ が複素螺旋になるための必要十分条件
は、$\gamma$ が複素キリングベクトル場の積分曲線になることである。」が示されてい
る。これは、「実空間形内の任意の曲線$\gamma$ が螺旋になるための必要十分条件は、
$\gamma$ がキリングベクトル場の積分曲線になることである。」 plex
verslon になっている。このことからもわかるように複素空間形の幾何学におい
て、複素螺旋の研究は基本的なものの一つである。
本稿の主たる目的は、複素空間形内の 3 次の複素螺旋全体の作る moduh を
調べることにある。 1 次の螺旋は当然のことながら測地線である。 2 次の螺旋は
通常、円(circle) と呼ばれる。これら 1 次及び 2 次の螺旋は、すべて複素螺旋で
ある。しかし、 3 次以上の螺旋の族では、複素螺旋でないものが無数に存在する。
これを精密に述べると$n$ 次元複素空間形では、 3 次の複素螺旋全体の成す moduli
空間は$n\geq 3$ のときは、 3 個の実数でパラメトライズされ、$n=2$ のときは、 2
個の実数でパラメトライズされる(参照: 定理 5) 。これ以外の結果として 2 次元
の複素空