函数极限的运算法则.ppt

第五讲函数极限的运算法则
内容提要
1极限的运算法则;
2两个极限存在准则。
敏学要求
l熟练掌握极限的四则运算法则
(夹逼准则和单调有界法
则)。
、极限的运算法则
面伋给抖的运隼对于x→x
x→x0,x→,x→+O,x→-∞等情况的运算
法则可类似
定理1设limf(x)=A,limg(x)=B则有
法则1lim[f(x)±g(x=limf(x)±lim(x)
x
法则2mi=limf(x)ling
rro
特别地mf(x)=Cimf(x)
lim[f(x)I"=lim f(x
]
法则3im
f(r)im f(r)
x之xog(x)img(x)
x→x
其中limg(x)=B≠0
指出:法则1、2都可推广到有限个具有极限的函数的情形
证明只证法则1其余仿证
回顾:】
因limf(x)=A,img(x)=B,由无穷小与函数
极限之关系知Ag(x)=B+P(x)
其啦im(x)=0
H
=[A+a(x)]±[B+B(x)
=(A±B)+[ax)士B(x)
由无穷小的性质知:lim[a(x)±B(x=0
再由无穷小与函数极限的关系得:
lim[f(x)±g(x=A±B=limf(x)±limg(x)
roro
x→
极限的几种类型
1)简单型由运算法则直接求出结果:
解I中是漫重
多E=3
一般删次多项
即
》
2+3x+7Im(x+3x+7)
例
2 lim
x→-1x+2
lim(x+2)
(-1)2+3(-1)+75
一1+2
=5
〖注〗:一般地,求有理函数当x→x0的极限时
若分母的极限不为零,把x=x0代入有理
函数直接求函数值,即为该函数的极限。
例im31=2×2-1=3
22-3
2)型(记号)
0
x2-4
x2x=im(x+2)=2+2=4
例3im
【注】对分子、分母极限均为0情形的有理式,先约
去分子分母的公因子,再求极限,不能直接使用法则3
练习:
16
求mx4
解i
x2-16
x-Ax-434
3)型(记号)
3x2+x+1
3++,lim(3++2)
=lil
X→0g
例4
2x2-x+1x,1
2
2
rr
5
+5n
lim(+
例5lim
x+5
rx
x→x2-9
=lim
=0
x
1-2im(1--2)
【注】对型的有理式函数的极限,由于分子分母极限
为∞,极限不存在,不能用法则3,先对分子、分母同
除以x的最高次幂再求极限。
练习:求
4+
2
2℃-1
解i
2=lim
43x→∞
+
一般地,设a0≠0,b0≠0,m,n为正整数,则
4)∞0-∞型
例6i夏
C①1
最2
=lie
x+2
x是xH
【注】对∞-∞型的有理式函数求极限,先通分,
后求极限。