二次函数知识点总结.docx

a 向下 0，c y 轴
0
x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y
随 x 的增大而增大； x 0 时，y 有最大值 c ．
二次函数
2
y a x h 的性质：
a的符
号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a 0 向上 h，0 X=h
x h 时，y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x
的增大而减小； x h 时， y有最小值 0 ．
a 向下 h，0 X=h
0
x h 时，y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x
的增大而增大； x h 时， y有最大值 0 ．
二次函数
2
y a x h k 的性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a 0 向上 h ，k X=h
x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随
x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．
a 0 向下 h ，k X=h
x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随
x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．
抛物线
2
y ax bx c的三要素：开口方向、对称轴、顶点 .
a的符号决定抛物线的开口方向： 当 a 0 时，开口向上； 当 a 0时，开口向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 .
对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作
x
b
2a
. 特别地，y 轴记作直线 x 0 .
2
b 4ac b
顶点坐标坐标： （ ， ）
2a 4a
顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数， 如果二次项系数 a相同， 那么抛物
线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 .
2
抛物线 y ax bx c
中， a,b,c 与函数图像的关系
二次项系数 a
二次函数
2
y ax bx c 中， a作为二次项系数，显然 a 0 ．
⑴ 当a 0 时，抛物线开口向上， a 越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；
⑵ 当a 0 时，抛物线开口向下， a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大． 总结起来， a决定了抛物线开口的大小和方向， a的正负决定开口方向， a 的大小决
定开口的大
小．
一次项系数 b
在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在 a 0 的前提下，
b
当b 0 时， 0
2a
，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；
b
当b 0 时， 0
2a
，即抛物线的对称轴就是 y 轴；
b
当b 0 时， 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．
2a
⑵ 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即
b
当b 0 时， 0
2a
，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；
b
当b 0 时， 0
2a
，即抛物线的对称轴就是 y 轴；
b
当b 0 时， 0
2a
，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．
总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．
总结：
常数项 c
⑴ 当c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ；
⑶ 当c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．
总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．
总之，只要 a ，b，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
求抛物线的顶点、对称轴的方法
公 式 法 ：
y
2
ax
bx
c
a
x
2
2
b 4ac b
2a 4a
， ∴ 顶 点 是
b
2a
4ac
，
4a
b
2
）
，对称轴是直线
x
b
2a
（
.
2
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y a x h k
到顶点为 ( h , k ) ，对称轴是直线 x h .
的形式，得
运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 .
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 .
用待定系数法求二次函数的解析式
2 . 已知图像上三点或三对 x、 y 的值，通常选择一般式 . 一般式：