大学高等数学ppt课件第二章4导数的应用.ppt

第四节
导数的应用
函数的单调性的判别
学习重点
函数极值及最值的确定方法
曲线凹凸向的判别及拐点的确定
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◆函数的单调性
y
x
o
a
b
y
o
a
b
x
函数单调递增，则
函数单调递减，则
由Lagrange中值定理：
于是有函数单调性的判别定理
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◆函数单调性的判别定理
（1） 如果函数 在 内有 ，则函数在
上是单调递增的。
（2） 如果函数 在 内有 ，则函数在
上是单调递减的。
设函数 在 上连续，在 内可导，则
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例1 求函数 的单调区间
解 因为
令
得驻点
当 时，
不存在
列表：
>0
<0
>0
>0
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所以，函数在 及 内单调递增，在
内单调递减。
续例1：
求函数的单调区间的一般方法：
（1）求函数的一阶导数；
（2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；
（3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号；
（4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。
小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在
的点可将单调区间分开。
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例5 证明不等式
证明 令
则
所以，当 时，不等式 成立。
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证明：
证（1）
（2）
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◆函数的极值
极值的概念：如果函数 在点 的某邻域内有定义，对于
该邻域内任意异于 点的 ，都有 ，则称
为函数的一个极小值；如果有 ，则称 为函数
的一个极大值。极大值和极小值统称为函数的极值。使函数取
得极值的点称为函数的极值点。
由于函数在不同的区间的单调性不同，
因而在图象上会出现“峰”与“谷”，使函数
值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称
之为函数的极大、极小值。
例如
-1
3
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函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性
（1）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值；
如函数Y=x 在区间 [1，2] 内既无极大值，也无极小值。
（2）可以缺少其一；
如 y=x2 在区间 [-1，2] 内，只有极小值。
（3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数；
（4）极值一定在区间内部取得。
◆函数的极值说明
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◆极值存在的必要条件（费马定理）
如果函数 在点 处可导，且在点 处有极值，
则
导数为零的点称为函数的驻点。
函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。
函数的极值点是驻点或导数不存在的点。
费马定理的逆定理不成立。
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