大学高等数学ppt课件第五章4二重积分的概念.ppt

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二重积分的引入——曲顶柱体的体积（演示）
.
求曲顶柱体的体积
记
用平顶柱体体积
作近似替换
（1）细分
（2）近似替换
（3）作和
（4）取极限
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设平面薄片的面密度是：
求平面薄片的质量
D
记
二重积分的引入——平面薄片的质量
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二重积分的概念
设函数 是有界闭区域 D 上的有界函数。
将闭区域 D 任意分成 个小闭区域
其中 表示第 个小闭区域，同时也表示它的面积。
在每个小闭区域 上任取一点
令
若无论 D 如何划分和 如何选取，
都存在，则称此极限为函数 在 D 上的二重积分，
记作：
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由于二重积分值与分割无关，故在直角坐
标系下，通常用平行于坐标轴的直线网分
割区域D，从而有
即
二重积分的概念
所以在直角坐标系下，二重积分常表示为
引例中的曲顶柱体体积可用二重积分表示为
平面薄片的质量为
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二重积分的性质
是常数。
（D 的面积）
二重积分可计算平面图形的面积
其中： 、 是 的一个完全分割。
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二重积分的性质
使
积分中值定理（定性研究）
二重积分的估值
二重积分的比较
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o
y
x
z
a
b
二重积分的计算——化二重积分为二次积分
预备知识：平行截面面积已知的立体体积的计算（演示）
A(x)
x
如右图所示立体：介于平面x=a与x=b之间
在区间[a,b]内任取一点x，过该点
作x轴的垂直平面，若该平面的面
积为A(x)，则由定积分的元素法可
知立体体积为
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如果积分区域D可表示为：
a
b
y=y2(x)
y=y1(x)
o
x
y
Х-型区域
用平行于yoz面的平面去截立体，
则截面面积为：
于是，立体体积为
直角坐标系下化二重积分为二次积分
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如果积分区域D可表示为：
у-型区域
用平行于xoz面的平面去截立体，
则截面面积为：
于是，立体体积为
直角坐标系下化二重积分为二次积分
o
x
c
d
y
x=φ2(y)
x=φ1(y)
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