费马点的两证明方法.docx

费马点 的两证明方法
费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶
点；如果三个内角都在 120 度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为 120 度的点。
1、费马点不在三角形外，这个就不用证了，很显然。但为了严谨，还是说一下
2、当有一个内角大于等于 120 度时候
对三角形内任一点 P
延长 BA至 C' 使得 AC=AC'，做∠ C'AP'= ∠CAP，并且使得 AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形 APC以 A 为中心做了个旋转）
则△ APC≌△ AP'C'
∵∠ BAC≥120°
∴∠ PAP'=180° - ∠BAP - ∠C'AP'=180°-∠BAP - ∠CAP=180° -∠BAC≤60° ∴等腰三角形 PAP' 中， AP≥PP'
PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC
所以 A 是费马点
3、当所有内角都小于 120°时
.
做出△ ABC内一点 P，使得∠ APC=∠BPC=∠CPA=120°， 分别作 PA,PB,PC的垂线，交于 D,E,F 三点，如图，再作任一异于 P 的点 P' ，连结 P'A,P'B,P'C ，过 P' 作 P'H 垂直 EF于 H
易知∠ D=∠E=∠F=60°，即△ DEF为等边三角形，计边长为 d，面积为 S 则有 2S=d(PA+PB+PC)
P'A≥P'H
所以 2S△EP'F≤P'A*d
同理有
2S△DP'F≤P'B*d
2S△EP'D≤P'C*d
相加得 2S≤d(P'A+P'B+P'C)
PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C，当且仅当 P,P' 重合时取到等号所以 P 是费马点
虽然不知道费马点在那里， 我们先假设他在某个位置， 做出来，证明他不可能具有某些性质，最后确定他的位置，这个证明仅限于三个内角都小于 120 度的时候。
.