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巧用隔板法解排列组合题
徐帮利 临沂市第二中学
解决排列组合问题的方法很多 , 从解题形式来看 , 可分为直接法和间接法两种 ; 根据具 体问题情景又有：相邻问题“捆绑法” ;不相邻问题“插空法” ; 特殊定位“优限法” （优先
排列受限制的位置或元素 ）; 同元问题“隔板法”等 . 这里我们重点看一下“隔板法” .
“隔板法”适用于相同元素的分配问题 , 如投球进盒、名额或指标的分配、部分不定方 程的整数解的组数等 ,解决时通常设计一个问题情景 ,构造一个隔板模型 , 将复杂的问题简单 化, 抽象的问题具体化 , 从而实现解题的目的 . 下举例述之 .
例 7个车队 ,每个车队的车多于 4辆,现从这 7个车队中抽出 10 辆车, 且每个车队至少抽 1辆, 组成一个运输队 ,则不同的抽法有（ ）种.
解析:此题若使用其它方法 ,则需要分类 ,都比较麻烦 ,若用“隔板法” ,则就轻而易举了 . 首先将 10辆车排好 , 这样形成 9个空,从这 9个空中选 6个, 插入隔板 ,即将这 10辆车分成 7 份, 每一种插法对应一种抽法 , 故共有 C96 84种 不同的抽法 . 所以选 A.
例 2. 方程 x1 x2 x3 x4 10 共有多少组正整数解
解析:此题乍看上去 ,好象思路不太好找 ,那就只好列举了 （麻烦啊！ ）. 殊不知,巧构隔板 模型,即可化繁为简 .将10个完全相同的小球排成一列 ,形成 9个空,从中选 3个,插入隔板 , 将球分成 4 份, 每一种插法所得 4份球的各份的数目 , 分别对应 x1、x2、x3、x4, 即为原方程 3
的一组正整数解 . 故原方程组共有 C93 84组 不同的整数解 .
例 3 ．将 10 个相同的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中 , 每个盒子中所放的球数不少 于其编号数 , 问不