动态法测量杨氏模量.doc

南昌大学大学物理实验报告学生姓名:___________ 学号:_______________ 专业班级:______________ 实验时间:_____ 时_____ 分第____ 周星期:______ 座位号:________ 动态法测量杨氏模量一. 实验目的 1、理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2、掌握动态法测量杨氏模量的基本方法,熟悉信号源和示波器的使用。 1所示,长度 L远远大于直径 d( L>>d )的一细长棒,作微小横振动(弯曲振动)时满足的动力学方程(横振动方程)为棒的轴线沿 x方向, 4 2 4 2 y y + =0 x t S EJ ?? ?? ?(1)yL0xx图 1 式中 y为棒上距左端 x处截面的 y方向位移, E为杨氏模量,单位为 Pa或 N/m 2 ; ρ为材料密度, S为截面面积, J为某一截面的转动惯量, J= 2 y ds S ??。横振动方程的边界条件为:棒的两端( x=0 , L)是自由端,端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程( 1),令 y( x, t) =X ( x) T( t),既有 4 2 4 2 1 d 1 =- dx EJ S d T X T dt ??(2) 由于等式两边分别是两个变量 x和 t的函数,所以只有当等式两边都等于两边都等于同一个常数时等式才成立,假设此常数为 4K ,则可得到下列两个方程 444d0dx X K X ? ?(3) 2 4 2d + 0 dt T K EJ TS??(4) 如果棒中每点都作简谐振动,则上述两方程的通解分别为 1 2 3 4 (x)=a ch x+a cos sin ( ) cos( ) X K shKx a Kx a Kx T t b t ? ?? ????? ?? ????(5) 于是可以得出 y(x,t)=( 1 2 3 4 a ch x+a cos sin K shKx a Kx a Kx ? ?)? cos( ) b t ? ??(6) 式中 142 [ ] K EJ S ???(7) 式中( 7 )称为频率公式,适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点(或支撑点)在试样的节点,则根据边界条件得到 cosKL ? chKL=1 ( 8) 采用数值法可以得出本征值 K和棒长 L应满足如下关系: KnL=0,,,, , ……( 9) 其中第一根 0 K L =0对应试样静止状态;第二根记为 1 K L = ,所对应的试样振动频率称为基振频率(基频)或者称为固有频率,此时的振动状态如图 2所示, 第三根 2 K L = 所对应的振动状态如图 3所示,称为一次谐波。由此可知,试样在作基频振动