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函数的奇偶性
一、【学习目标】
1、理解函数的奇偶性并能熟练应用数形结合的数学思想解决、推导问题；
2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，
3、能应用奇偶性的知识解决简单的函数问题.
二、【研探新知】
提出问题
① 如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.
结论：这两个函数之间的图象都关于y轴对称.
② 那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=x2
表1
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=|x|
表2
结论：这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1).
可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内一个x，都有f(-x)=f(x).
③偶函数的定义：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
④偶函数的图象有什么特征？ 结论：偶函数的图象关于y轴对称.
⑤函数f(x)=x2,x∈［-1,2］是偶函数吗？ 结论： 不是偶函数.
⑥偶函数的定义域有什么特征？ 结论：偶函数的定义域关于原点轴对称.
⑦观察函数f(x)=x和f(x)=的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？
奇函数定义：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
奇函数的性质：奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称.
总结提升：
1、如果函数是奇函数或偶函数，我们就说函数具有奇偶性；
2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函
数也不是偶函数；
3、奇、偶函数的定义域关于“0”（原点）对称．如果一个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；
4、偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称；
5、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；
利用奇偶函数的定义判断函数奇偶性的步骤：
第一步：考查函数的定义域是否关于原点对称；若函数的定义域不是关于原点对称的，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则判断是否成立；
第二步：①若，则为奇函数； ②若，则为偶函数；
③若且，则既是奇函数又是偶函数.（只有一类，
即=0，，D关于原点对称）
6、函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质.
三、【经典范例】
一．判断函数的奇偶性：
例1、判断下列函数的奇偶性： (1)　 (2) (3)
(4)， (5) （6）f(x) =x+；
【解】(1) 函数的定义域为，关于原点对称，且
，所以该