行列式计算方法.ppt

关于行列式计算方法的研究
摘要:本文探讨了行列式的计算方法问题,介绍了

法,化三角形法,升阶法,数学归纳法等法外,还介绍
利用降阶定理,幂级数变换,换元等技巧性较高的计算方
,就可以基本上
解决n阶行列式的计算问题
关键词:n阶行列式;递推关系式;升阶;幂级数变
换;换元
、引言
行列式的计算是高等代数的重要内容之一
也是学习中的一个难点对于阶数较低的行列
式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算
出结果对于一般的n阶行列式,特别是当n较大
时,直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐
的,因此研究行列式的计算方法则显得十分必
要通常需灵活运用一些计算技巧和方法,使
计算大大简化,从而得出结果本文介绍了几
种计算方法,只要将各种方法综合地应用起来
就可以基本上解决n阶行列式的计算问题
行列式的定义及性质
1定义:n阶行列式D.=
其中r(2…)为排列2…的逆序数
2性质
(1)行列互换,行列式不变
(2)数k乘行列式的一行相当于数k乘此行列式
(3)若行列式中有两行相同,那么行列式为零
(4)若行列式中两行成比例,那么行列式为零
(5)若行列式中某行(列)的每一个元素均为两数之
和,则这个行列式等于两个行列式的和,这两个行列
式分别以这两组数作为该行(列)元素,其余各行
(列)与原行列式相同
(6)把行列式中一行的倍数加到另一行,行列式不变
(7)对换行列式中两行的位置,行列式反号
、行列式的计算方法
利用行列式的定义来计算
对于含零元素较多的行列式可用定义来计算
因为行列式的项中有一个因数为零时,该项的值
就为零,故只须求出所有非零项即可
(法一)求出位于不同行,不同列的非零元素乘积的
所有项
行列式中含大量零元素,尤其是行列式的非零
元素乘积项只有一项时,用此法计算非常简便
定理1一个n阶行列式中等于零的元素个数如果比
n×n—n多,则此行列式等于零
证明:由行列式定义,该行列式展开后都是n个
元素相乘,而n阶行列式共有n×n个元素若等
于零的元素个数大于n×n-n,那么非零元素

个零元素,所以每项必等于零,故此行列式
等于零
法二)求出非零元素乘积a1a2b2…am,的列下标
的所有n元排列,即可求出行列式的所有非零项
2化三角形法把已知行列式通过行列式的性质化为下
列三角形行列式中的某一种形式,则其值就可求出
a
=(-1)21A,…元
(1)箭形行列式;2)可化为箭形行列式的行式
(3)行(列)的和相等的行列式
这几种类型的行列式均可化为三角形行列式
:利用行列式的性质,把某一行列
式表示为具有相同结构的较低阶行列式的关系式(称
为递推关系式),根据所得递推关系式及低阶某初始
行列式的值便可递推求得所需的结果
文章给出了一类可化为D.=Dm+bDn2的递归行列式
的计算方法。当b等于0时,易得
当b不等于0时,Dn=Ca+C2B
D,-BD
D,-aD,
,其中a和β为特征方程
B
x2-ax-b=0的两根。

升阶法指的是在原行列式中再添加一行一列,
使原来的n阶成n+1阶,且往往让n+1阶行列式的
,阶数高的

添加的行,列元素,使新的行列式更便于“消零”
的话,则升阶后有利于计算行列式的值
凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是
除主对角线上的元素外,其余元素都相同,或任
两行(列),新行(列)
由哪些元素组成?添加在哪个位置?要根据原行
列式的特点作适当的选择
,将行列式与矩阵联系在
起,用行列式的降阶定理计算n阶行列式,以
使方法简单化
定理2设P
其中A为年n阶,D为m阶方阵
C D
(1)若A可逆,则P=b=c-l
(2)若D可逆,则P=D|A=BD
证明:(1)若A可逆,由分块矩阵的乘法,有
oT「ABTE-ABl「A
D-CA
由
1,所以两边取行列式
Alp-caB,同理可证(2)