高等数学课件d1-8连续性间断点.ppt

二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
第八节
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函数的连续性与间断点
第一章
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高等数学
可见 , 函数
在点
一、 函数连续性的定义
定义:
在
的某邻域内有定义 ,
则称函数
(1)
在点
即
(2) 极限
(3)
设函数
连续必须具备下列条件:
存在 ;
且
有定义 ,
存在 ;
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continue
若
在某区间上每一点都连续 ,
则称它在该区间上
连续 ,
或称它为该区间上的连续函数 .
例如,
在
上连续 .
( 有理整函数 )
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
在闭区间
上的连续函数的集合记作
只要
都有
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对自变量的增量
有函数的增量
左连续
右连续
当
时, 有
函数
在点
连续有下列等价命题:
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例. 证明函数
在
内连续 .
证:
即
这说明
在
内连续 .
同样可证: 函数
在
内连续 .
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在
在
二、 函数的间断点
(1) 函数
(2) 函数
不存在;
(3) 函数
存在 ,
但
不连续 :
设
在点
的某去心邻域内有定义 ,
则下列情形
这样的点
之一函数 f (x) 在点
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
称为间断点 .
在
无定义 ;
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间断点分类:
第一类间断点:
及
均存在 ,
若
称
若
称
第二类间断点:
及
中至少一个不存在 ,
称
若其中有一个为振荡 ,
称
若其中有一个为
为可去间断点 .
为跳跃间断点 .
为无穷间断点 .
为振荡间断点 .
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为其无穷间断点 .
为其振荡间断点 .
为可去间断点 .
例如:
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显然
为其可去间断点 .
(4)
(5)
为其跳跃间断点 .
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内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点
跳跃间断点
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
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