数学趣题样稿.doc

【一】鸡兔同笼：大约在15前，《孙子算经》中记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是：有若干只鸡和兔同在一个笼子里，数头有35个；数脚有94只。求笼中有鸡和兔各多少只？
    ※①假如砍去每只鸡、每只兔二分之一脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这么，（1）鸡和兔脚总数就由94只变成94÷2=47只；（2）假如笼子里有一只兔子，则脚总数就比头总数多1。所以，脚总只数47和总头数35差，就是兔子只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡只数是35－12＝23（只）。
   【“砍足法”令古今中外数学家赞叹不已，这种思维方法叫化归法。化归法就是在处理问题时，先不对问题采取直接分析，而是将题中条件或问题进行变形，使之转化，最终把它归成某个已经处理问题。】
    ②用“假设法”：假设全部是鸡，头有35个，则脚有35×2=70只，相差94-70=24只，是兔多出脚，每只兔多2只脚，兔有24÷2=12只，鸡有35－12＝23（只）。
    ③用“方程”来解：解设兔头X只，则鸡有35-X只，列式为4X+（35-X）×2=94，X=12，鸡有35－12＝23（只）。  
   【二】牛顿问题：英国科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道有名、相关牛在牧场上吃草题目，大家把它称为“牛顿问题”：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。假如养牛21头，几天能把牧场上草吃尽？（而且牧场上草是不停生长）”
    ※通常解法是：把一头牛一天所吃牧草看作1。
   （1）27头牛6天所吃牧草为：27×6＝162 （这162包含牧场原有草和6天新长草。）
   （2）23头牛9天所吃牧草为：23×9＝207 （这207包含牧场原有草和9天新长草。）
   （3）1天新长草为：（207－162）÷（9－6）＝15
   （4）牧场上原有草为：27×6－15×6＝72
   （5）天天新长草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场草：72÷（21－15）＝72÷6＝12（天） 所以养21头牛，12天才能把牧场上草吃尽。
    【练一练】有一牧场，假如养25只羊，8天能够把草吃尽；养21只羊，12天把草吃尽。假如养15只羊，几天能把牧场上不停生长草吃尽？
    【三】鬼谷算：中国汉代有位大将叫韩信，她每次集合部队，只要求部下前后按l～3、1～5、1～7报数，然后再汇报一下各队每次报数余数，她就知道到了多少人。她这种巧妙算法，大家称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩下定理”。到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，她写道：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得悉。” 这首诗意思是：用3除所得余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得余数乘上15，结果大于105就减去105倍数，这么就知道所求数了。比如，一篮鸡蛋，三个三个地数余1，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里有鸡蛋一定是52个。算式是：1×70＋2×21＋3×15＝157，157－105＝52（个）
    【练一练】四皓小学订《中国少年报》若干张，假如三张三张地数，余数为1张；五张五张地数，余数为2张；七张七张地数，余数为2张。四皓小学订《中国少年报》多少张？
    【四】电灯泡问题：“过道里依次挂着标号是1，2，3, ……100电灯泡，开始它们全部是灭。当第一个人走过时，她将标号为1倍数灯泡开关拉一下；当第二个人走过时，她将标号为2倍数灯泡开关拉一下；当第三个人走过时，她将标号为3倍数电灯泡开关拉一下；……如此进行下去，当第一百个人走过时，她将标号为100 倍数灯泡开关拉一下。问：当第一百个人走过后，过道里亮着电灯泡标号是多少？”
    ※ 此题实质是找每个灯泡因数个数。第一个灯泡只有因数1，灯亮；第二个灯泡有两个因数1、2，等灭；由此能够看出因数个数是奇数时，灯亮；因数个数是偶数时，灯灭。故当第一百个人走过后，过道里亮着电灯泡标号是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100.  
   【五】巧求六位数：“六位数□4321□能被4321整除，这个六位数是多少？”
    ※采取“假设──计算──排错──验证”方法。
    假设六位数为943219，那么943219÷4321＝218…1241，因为余数大于9，所以不合题意。
    假设六位数为843219，则有843219÷4321＝195…64，余数大于9，也不合题意。
    假设六位数为743219，则743219÷4321＝172…7，余数小于9，可见符合