数学解题思维方法.doc

《数学解题思维方法》

第一章 数学发现的基本方法
三、练习题
1、解方程组
解：(1)－2×(2)得
所以，
从而 .
由(2)得
所以，方程组的解为
2、解方程：
证明：显然是的解，从而有
即是的解。
若，则有
即不是的解，
同理，，原方程只有唯一解x=2.
3、设是方程的根，且0<c<b<a,证明：
证明：当时，方程有两个实根，设另一实根为.
由韦达定理知：
则
当时，方程有两个共轭复数根，设另一根为
则
4、计算： (n是正整数).
解：
猜想：

5、设P为四面体A-BCD内一点，四顶点到对面的距离分别为hA ,hB ,hC ,hD , P到这四面的距离依次为la , lb ,lc , ld,则有

证明：如图
同理
因为VA-BCD=VB-ACD=VC-ABD=VD-ABC
VA-BCD=VP-BCD+VP-ACD+VP-ABD+VP-ABC
所以
6、求证：
证明：将命题一般化：求证：
取n=49,得
7、恒为常数，试证明.
证明：特殊赋值：
只须证明：

则，二次多项式方程f(x)+1=0有三个不同的根a,b,c.
所以，
8、若定义在正有理数集上的实值函数满足f(x+y)=f(x)×f(y),则
证明：对于型的有理数。

对于正有理数

第二章 数学的论证方法
三、练习题
1、求证：
证明：欲使成立
只须
只须
只须
而最后一个式子显然成立. 所以，原式成立。
2、求证：
(n是正整数)
证明：欲使
只须


而此式显然成立。
3、设函数f(x)在x=0处无意义，但对所有的非零实数x，有
求f(x)=f(-x)的实根.
解：因为 ①
所以， ②
由①，②得， 因此，
由f(x)=f(-x)得，
4、设a,b,c是整数,求证:的判别式△不可能为2002,2003.
证明：（1）若△=b2- 4ac=2002, 则b必为偶数. 令 b=2m，
则有 4m2-4ac=4×500+2.
上式左边是4的倍数，而右边却不是4的倍数，矛盾！所以△不能为2002.
(2) 若△=b2- 4ac=2003, 则b必为奇数. 令 b=2m+1，
△=4(m2+m-ac)+1=4×500+3.
上式左边被4除余1，而右边被4除余3，矛盾！所以△不能为2003。
5、求证：形如2k(k是正整数)的数不能是几个连续正整数的和.
证明：假设
其中n,m都是正整数，则

由(B)知m中奇数，从而2n+m是奇数，这样(C)的左边是奇数，右边是偶数。矛盾！则(A)不成立。
所以，2k(k是正整数)的数不能是几个连续正整数的和.
6、解方程：
解：由
由
由
分以下四种情况讨论：
(1) 原方程化为
(2) 原方程化为
(3) 原方程化为
(4) 原方程化为
综上所述，原方程的解为：
7、已知a是正整数，且的值是一个素数，试求这个素数.
解：设.
以下按3为模的剩余类进行分类讨论：
当a=3m (其中m是正整数)时，f(a)是3的倍数，则f(a)不是素数.
当a=3m+1(其中m是非负整数)时，
则f(a)也不是素数.
当a=3m+2 (其中m是非负整数)时，
显然，m>0时f(a)不是素数；当且仅当m=0时，f(2)=11是素数。
8、求证： (n是正整数)
证明：当n=1时，即n=1时不等式成立.
假设当n=k时，不等式成立，即
当n=k+1时，
这说明n=k+1时，不等式也是成立的。
综上所述，由数学归纳法知，对一切正整数n，原不等式成立.
9、证明：n是偶数时，xn+yn能被x+y整除(其中x,y为整数，x+y≠0).
证明：当n=2时，由于x2-y2=(x+y)(x-y), 结论显然成立.
假设当n=k时，结论成立，即x2k - y2k能被x+y整除.
当n=k+1时，有
由于x2-y2与x2k - y2k均能被x+y整除，因