函数的单调性及求函数的最值.doc

函数的单调性与最值
复习：
按照列表、描点、连线等步骤画出函数的图像.
图像在轴的右侧部分是上升的，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，如果取∈[0，+)，得到,,那么当<时，有<.这时就说函数=在[0,+ )上是增函数.
图像在轴的左侧部分是下降的，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值反而随着减小，如果取∈[0，+)，得到,,那么当<时，有。这时就说函数=在[0,+ )上是减函数.
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数
图象
描述
在单调区间上增函数的图象是上升的
在单调区间上减函数的图象是下降的
(2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．
注意：
（1）函数的单调性也叫函数的增减性；
（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。
（4）若函数在其定义的两个区间、上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地认为在区间上是增（减）函数. 例如在区间上是减函数，在区间上也是减函数，但不能说它在定义域上是减函数.
（3）用定义法判断函数的单调性：
①定义域取值；任取x1，x2∈D，且x1<x2；
②作差；作差f(x1)－f(x2)；
③变形；通常是因式分解和配方；
④定符号；即判断差f(x1)－f(x2)的正负
⑤下结论．指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性
例1 证明函数在(0,+)上是减函数.
证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且<，
则－=－=,
由,∈(0,+ )，得>0,
又由<,得－>0 ,于是－>0,即>
∴在(0,+ )上是减函数.
练习：讨论函数在[-1,0]的单调性.
在[-1,0]上任取x1,x2且x1<x2
则,
从而-= =
∵ ∴ 另外，恒有
∵-1≤x1<x2≤0 则 x1+x2<0 则- <
∴ 在[-1，0]上f(x)为增函数

例：讨论函数在(-2,2)的单调性.
解：∵，对称轴
∴若,则在(-2,2)是增函数；
若则在(-2,a)是减函数,在[a,2]是增函数
若,则在(-2,2)是减函数.

①设任意x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，那么
⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
②设任意x1，x2∈[a，b]，那么
⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
③ (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
【梳理·总结】
（1）函数与的单调性相反；
（2）当函数恒为正或恒有负时，与函数的单调性相反；
（3）函数与函数（为常数）的单调性相同；
（4）当（为常数）时，与的单调性相同；当（为常数）时，与的单调性相反；
（5）函数、都是增（减）函数，则仍是增（减）函数；
（6）若且与都是增（减）函数，则也是增（减）函数；若且与都是增（减）函数，则也是减（增）函数；
（7）设，若在定义域上是增函数，则、、都是增函数.
例：求函数y＝的单调区间.
4. 关于分段函数的单调性
(1)若函数,在区间上是增函数, 在区间上是增函数,则在区间上不一定是增函数,若使得在区间上一定是增函数,需补充条件:
(2)若函数,在区间上是减函数, 在区间上是减函数,则在区间上不一定是减函数,若使得在区间上一定是减函数,需补充条件:
例：已知函数若对任意x1，x2，都有成立，则实数a的取值围是(　　)
A．(0,] B．(0,1) C．[,1) D．(0,3)
5．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
.
①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；