历届全国大学生数学竞赛预赛试题.doc

全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.
2．设是连续函数，且满足，则____________.
3．曲面平行平面的切平面方程是__________.
4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________.
二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.
三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.
四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：
（1）；
（2）.
五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
六、（10分），，，使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
七、（15分）已知满足，且，求函数项级数之和.
八、（10分）求时，与等价的无穷大量.
2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（25分，每小题5分）
（1）设，其中求
（2）求.
（3）设，求.
（4）设函数有二阶连续导数，，求.
（5）求直线与直线的距离.
二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且，，
，且存在一点，使得. 证明：方程在恰有两个实根.
（15分）设函数由参数方程所确定，且，
其中具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数.
四、（15分）设，证明：
（1）当时，级数收敛；
（2）当且时，级数发散.
五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球
（其中，密度为1）绕旋转.
（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值.
六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数.
（1）设为正向闭曲线，证明；
（2）求函数；
（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求.
2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
（1）求；
（2）.求；
（3）已知，求.
二、（本题10分）求方程的通解.
三、（本题15分）设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得
.
四、（本题17分）设，其中，，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.
五、（本题16分）已知是空间曲线绕轴旋转形成的椭球面的上半部分（）（取上侧），是在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示的正法向的方向余弦. 计算：
（1）；（2）
六、（本题12分）设是在内的可微函数，且，其中，任取实数，定义，证明：绝对收敛.
七、（本题15分）是否存在区间上的连续可微函数，满足，，
?请说明理由.
2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.
（1）求极限.
（2）求通过直线的两个互相垂直的平面和，使其中一个平面过点.
（3）已知函数，且. 确定常数和，使函数满足方程.
（4）设函数连续可微，，且在右半平面与路径无关，求.
（5）求极限.
二、（本题10分）计算.
三、（本题10分）求方程的近似解，.
四、（本题12分）设函数二阶可导，且，，，求，其中是曲线上点处的切线在轴上的截距.
五、（本题12分）求最小实数，使得满足的连续函数都有.
六、（本题12分）设为连续函数，. 区域是由抛物面和球面
所围起来的部分. 定义三重积分，
求的导数.
七、（本题14分）设与为正项级数，证明：
（1）若，则级数收敛；
（2）若，且级数发散，则级数发散.
2013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤）
.
.
，求的极值.
，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为，求点的坐标.
二、（满分12分）计算定积分.
三、（满分12分）设在处存在二阶导数，：级数收敛.
四、（满分12分）设，证明.
五、（满分14分）设是一个光滑封闭曲面，，使积分的值最小，并求该最小值.