导数与微分习题.doc

第二章 导数和微分
【内容提要】
1．导数概念
设函数y＝f(x)在x0某邻域（x0－δ，x0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x在点x0处有改变量Δx时，对应地，函数有改变量．若时，极限存在，则称函数y＝f(x)在x＝x0处可导，称此极限值为f(x)在点x0 处导数，记为
或或或或
时，改变量比值极限称f(x)在x0处右导数，记为。
时，改变量比值极限称f(x)在x0处左导数，记为。
2．导数意义
导数几何意义：是曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处切线斜率，导数几何意义给我们提供了直观几何背景，是微分学几何应用基础。
导数物理意义：旅程对时间导数是瞬时速度v(t0) 。以这类推，速度对时间导数是瞬时加速度a(t0)。
3．可导和连续关系
定理 若函数在点x0处可导，则函数在点x0处一定连续。
此定理逆命题不成立，即连续未必可导。
4．导数运算
定理1（代数和求导法则）若u(x)和v(x)全部在点x处可导，则
定理2（积求导法则）若u(x)和v(x)全部在点x处可导，则
定理3（商求导法则）若u(x)和v(x)全部在点x处可导，且v(x)≠0，则
定理4 若函数在点x处可导，且在其对应点u处可导，则复合函数在x处可导，且
　或　
5．基础初等函数求导公式
本节中我们已求出了全部基础初等函数导数，整理所下：








这些基础导数公式必需熟记，和多种求导法则、求导方法配合，可求初等函数导数。
6．微分概念
设函数在点x处可导，则称函数在x点导数和自变量增量Δx乘积为函数在x处微分，记为
若，则Δx＝dx，即自变量微分等于自变量改变量，所以函数微分可记为
由可知，先计算函数导数，再乘以dx或Δx，就得到函数微分dy。
7．微分计算
由可知，微分计算归结为导数计算。由初等函数导数计算公式、法则和方法，能够直接得到微分基础公式和运算法则：
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　

微分运算法则以下：
四则运算法则：当u、v可微时，
d(u±v)＝du±dv
d(uv)＝vdu＋udv
d(Cu)＝Cdu
，(v≠0)
复合函数微分法则：
设函数y＝f(x)可微，当x是自变量时，；当x是中间变量x＝g(t)时，复合函数
y＝f[g(t)]微分为。
就是说，不管x是中间变量还是自变量，函数y＝f(x)微分全部能够表示为。因为表示形式一致，称之为一阶微分形式不变性。
8．微分简单应用
由微分定义可知，当很小时，能够用函数微分替换函数改变量，误差仅为高阶无穷小，即
　　　由，得到近似公式
记x＝x0＋Δx，近似公式能够写为
若取x0＝0，则得到当| x |很小时，近似公式
微分还能够用来估量误差。若，测量时产生绝对误差为，当很小时，函数绝对误差、相对误差分别计算为
，
【习题解答】
2-1 求下列函数导数。
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） y＝(x2＋3)tanx；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） y＝secxtanx＋cscxcotx；
（9） ； （10） 。
解 （1） （2）
（3） （4） y'＝2xtanx + (x2＋3)sec2x
（5） （6）
（7）
（8） y' = secxtan2x + sec3x - cscxcot2x - csc3x
（9） （10）
2-2 设f(x)＝cosxsinx，求、。
解 f ' (x) = - sinxsinx + cosxcosx = cos2x
= 1 = -1
2-3 设，求、。
解
= 1 =