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三角形五心定理
目录
三角形五心定理
一、三角形重心定理
二、三角形外心定理
三、三角形垂心定理
四、三角形内心定理
五、三角形旁心定理
有关三角形五心的诗歌
三角形五心定理
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外
心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。 该点叫做三角形的重心。 三中线交于一点可用 燕尾定理 证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心
因而得名）
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2︰ 1。
2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（ (X1+X2+X3)/3 ，（ Y1+
Y2+Y3)/3 。
二、三角形外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若 O 是 △ABC 的外心，则∠ BOC=2 ∠ A（∠ A 为锐角或直角）或∠ BOC=360°-2 ∠ A（∠ A 为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三
角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量： d1 ，d2 ，d3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的
点乘。 c1=d2d3 ， c2=d1d3 ， c3=d1d2 ； c=c1+c2+c3 。重心坐标： ( (c2+c3)/2c ， (c1+c3)/2c ， (c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等
三、三角形垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆。
2、三角形外心 O、重心 G 和垂心 H 三点共线，且 OG︰ GH=1 ︰ 2。（此直线称为三角形的欧拉线（ Eul
er line ））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的 2 倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明
已知： ΔABC 中， AD 、BE 是两条高， AD 、BE 交于点 O，连接 CO 并延长交 AB 于点 F ，求证： CF ⊥ A
B
证明：
连接 DE ∵∠ ADB= ∠ AEB=90 度 ∴ A、 B、 D、 E 四点共圆 ∴∠ ADE= ∠ ABE
∵∠ EAO= ∠ DAC ∠ AEO= ∠ ADC ∴ ΔAEO ∽ ΔADC
∴ AE/AO=AD/AC ∴ Δ