高中数学不等式知识点样稿.doc

不等式
知识点归纳:
一、不等式概念和性质
1、实数大小次序和运算性质之间关系：

2、不等式性质：
（1） ， （反对称性）
（2） ， （传输性）
（3），故 （移项法则）
推论： （同向不等式相加）
（4），
推论1：
推论2：
推论3：
不等式性质是解、证不等式基础，对于这些性质，关键是正确了解和熟练利用，要搞清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件放宽和加强。
3、常见基础不等式和关键不等式
（1） 当且仅当
（2）
（3），则
（4）
4、最值定理:设
（1）如积
（2）如积
即:积定和最小，和定积最大。
利用最值定理求最值三要素：一正二定三相等
5、均值不等式:
两个正数均值不等式：
三个正数均值不等是：
n个正数均值不等式：
6、四种均值关系：两个正数调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间关系是
小结:在不等式性质中，要尤其注意下面4点：
1、不等式传输性：若a>b,b>c, 则a>c,这是放缩法依据，在利用传输性时，要注意不等式方向，不然易产生这么错误：为证实a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c。
2、同向不等式可相加但不能相减，即由a>b,c>d，能够得出a+c>b+d,
但不能得a—c>b—d。
3、不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式确保为正，才能得到同向不等式，不然不能确保所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式方向；不等式两边同偶次乘方时，也要尤其注意不等式两边必需是正。
不等式应用范围十分广泛，在数学中，诸如集合问题，方程(组)解讨论，函数单调性研究，函数定义域确实定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中最大值、最小值问题，无一不和不等式有着亲密联络，很多问题，最终全部可归结为不等式求解或证实
。
二、不等式证实方法
（1）比较法：作差比较：
作差比较步骤：
①作差：对要比较大小两个数（或式）作差。
②变形：对差进行因式分解或配方成多个数（或式）完全平方和。
③判定差符号：结合变形结果及题设条件判定差符号。
注意：若两个正数作差比较有困难，能够经过它们平方差来比较大小。
（2）综正当：由因导果由已知不等式出发,不停地用必需条件替换前面不等式,直到推导出前面不等式。常见基础不等式有均值不等式；‚若，，则；ƒ若，则；④柯西不等式
（3）分析法：执果索因基础步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题理论依据：寻求结论成立充足条件或是充要条件。
②“分析法”证题是一个很好方法，不过书写不是太方便，所以我们能够利用分析法寻求证题路径，然后用“综正当”进行表示。
（4）反证法：正难则反直接证实难，就用反证。
（5）放缩法：将不等式一侧合适放大或缩小以达证题目标
放缩法方法有：
①添加或舍去部分项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）
③利用基础不等式，
如：；
④利用常见结论：
Ⅰ、；
Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度小）
（6）换元法：换元目标就是降低不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常见换元有三角换元和代数换元。如：
已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
已知，可设；
（7）结构法：经过结构函数、方程、数列、向量或不等式来证实不等式；
证实不等式方法灵活多样，但比较法、综正当、分析法和数学归纳法仍是证实不等式最基础方法。要依据题设、题断结构特点、内在联络，选择合适证实方法，要熟悉多种证法中推理思维，并掌握对应步骤，技巧和语言特点。
数学归纳法法证实不等式将在数学归纳法中专门研究。
例1已知a，b∈R，且a+b=1。
求证：。
证法一：（比较法）

即（当且仅当初，取等号）。
证法二：（分析法）


因为显然成立，所以原不等式成立。
点评：分析法是基础数学方法，使用时，要确保“后一步”是“前一步”充足条件。
证法三：（综正当）由上分析法逆推获证（略）。
证法四：（反证法）假设，
则 。
由a+b=1，得，于是有
所以，
这和矛盾。
所以。
证法五：（放缩法）∵
∴左边＝
＝右边。
点评：依据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选择基础不等式
。
证法六：（均值换元法）