第一题队员:姓名班级任务分工陈阳 09 级信科建模、编程苏杨 09 级信科编程、写作董鸿昆 09 级信科建模、写作 1 鱼类养殖及最优捕捞问题摘要: 本文讨论了渔业养殖过程中鱼群数量和重量变化、获得最大捕捞量及利益最大化的问题。针对问题一,鱼群数量和每尾鱼重量变化。鱼塘内鱼类的生存受外界环境制约,如生存空间、水质变化等,即阻滞系数。鱼群的实际减少率?相对减少率?阻滞系数,利用初始投放鱼苗量及鱼群的实际减少率,建立鱼群数量随时间减少的微分方程模型一, 利用 MATLAB 软件求解析解,得出鱼群数量 n 随着时间 t 呈减少趋势(见文中图 1)。鱼塘所能提供的生存资源有限,将此条件转化为鱼塘对鱼群总表面积的限制,鱼群数量与鱼表面积的乘积为常数 R ,从而建立鱼重量随时间 t 变化的微分方程模型二,并利用MATLA B 软件求解析解。针对问题二,捕获量最大。可持续捕获能力与捕捞强度是影响捕捞量的主要因素。可持续捕获能力即为进行捕捞时鱼尾数和鱼重量变化与时间的关系,考虑捕捞对实际减少率影响,建立关于最大捕捞量与鱼尾数和鱼重量变化关系的优化模型三,利用 MATLA B 软件作图对比,得出捕捞强度 E ,捕捞时间 T 与捕获量之间的动态关系。根据模型三得出的最大捕捞量与鱼尾数变化数据,引入鱼塘养殖成本、捕捞成本及鱼类价格,建立 t 时刻鱼塘支出与收益比较函数,建立以获得最大利润为目标函数的优化模型四,通过定性分析,达到在现实生活中指导鱼塘的捕捞问题的目的。关键词: 微分方程模型 MATLAB istic log 模型阻滞系数 2 一、问题重述渔业是一种可再生资源,但必须经过科学合理的开发利用,才能达到效益最大化和资源的可持续发展。现往一鱼塘中投放 0n 尾鱼苗,随着时间的增长以及外界环境的变化, 鱼的尾数将会慢慢减少而每尾鱼的重量将会逐渐增加。问题一,在此过程中,尾数?? tn 的(相对)减少率为常数;由于养殖过程中的饲料喂养,引起每尾鱼的重量增加率与鱼的表面积成正比,鱼自身代谢消耗所引起每尾鱼的重量减少率与重量本身有关。在此条件下分别建立尾数和每尾鱼重量的微分方程模型, 并求解。问题二,当到达一定时间 T 时,开始捕捞。用控制网眼大小的办法来捕捉达到一定表面积的大鱼,放过小鱼。捕捞能力用尾数的相对减少量???? dttn tdn 表示,记作 E ,那么单位时间捕获量是?? t En 。如何选择捕捞时间 T 和捕捞能力 E , 使得从 T 时刻开始捕捞时的捕获量最大,从而获得最佳效益。二、问题分析捕鱼策略不仅要求考虑经济效益, 还要考虑鱼塘里鱼数量的可持续性,这是一个动态的分析过程。合理、简化的策略是在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益。 问题一中鱼量和每尾鱼重量的分析尾数?? tn 的(相对)减少率为常数,通过分析知,鱼群数量越少,尾数实际减少率越小,两者成正相关,即实际尾数减少率随鱼群数量的减少而减小,可类比于微分方程模型中的 istic log 模型,进而建立尾数的微分方程。讨论此方程稳定点周边的单调性以及拐点情况,分析尾数?? tn 随时间 t 的变化趋势和走向; 每尾鱼重量的减少率和重量本身成正比,代谢消耗所引起每尾鱼重的减少率与重量本身成正比。从实际出发知,鱼塘可供生存的面积有限,可考虑将鱼尾数?? tn 和鱼表面积的乘积视为鱼塘可供生存面积,且为一常数,由此可将鱼的表面积表示为尾数?? tn 和鱼塘可供生存面积的关系式,当鱼数量达到稳定值时,鱼的表面积也达到稳定状态,再根据已知条件,列出微分方程并讨论方程稳定点周边的单调性以及拐点情况 问题二中捕捞时间和捕捞能力的分析捕捞时间 T 和尾数?? tn 以及鱼表面积紧密相关,经分析,最大捕获量是单位时间捕获量?? t En 与鱼重量乘积的积分,因此必须考虑两方面因素的制约。采用控制网眼的办法放过小鱼,捕走大鱼之后,相对于剩下的小鱼来说,生存空间增大,其表面积的增长率会增加,从而实现可持续收获的目的。捕捞能力用尾数的相对减少量???? dttn tdn 表示,记作E ,单位时间捕获量是?? t En ,找出单位时间捕获量?? t En 和鱼重量是解决问题的关键。三、模型假设 ,即死亡是一个连续的过程; (如水质变化)等因素; ; ,即每尾鱼的重量变化率相同; 3 ; 0; 。四、符号约定符号意义?? tst 时刻每尾鱼的表面积 R (常数) 鱼塘的可供生存面积?? na 鱼群的实际减少率?
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