高数导数的应用习题及答案.docx

一、是非题：
f x 在 a,b 上连续，且fa
占
八、、
x a in x bx2 x （ a,b为常数）在洛 2处有极值，则a
a,b，使 f 0 .
错误
•••不满足罗尔定理的条件。
2 .若函数
f x在X。的某邻域内处处可微，且 f X。
0，则函数f x必在Xo处取得
极值.
错误
•••驻点不一定是极值点，如： y x •曲线f x x3 x的拐点是（ 0,0 ）.
, x
0是其驻点，但不是极值点。
f b，则至少存在
3 .若函数'
f x在X。处取得极值，则曲线 y
f x在点
Xo , f Xo处必有平行于x轴
的切线.
错误
t曲线y x3在x
0点有平行于
x轴的切线,
但x 0不是极值点。
4 .函数y
x si nx 在 ,
内无极值.
正确
•/ y 1 cosx 0
,函数y x
sin x 在
, 内单调增，无极值。
0，则曲线y f x在a,b
5 .若函数f x在a,b内具有二阶导数，且f x 0, f x
内单调减少且是向上凹.
正确
、填空:
(
2
1
),
b ( -
).
3
6
•/ f
X
a
2bx 1，当 X1
1, X2 2 时，
X
a
2b
1
0, a 4b 1
0，解之得a
2,b
2
3
2 .函数f
X
in
2
x 1的极值点是
(x 0
).
1•设
x 2x，令
1 x2
0 ,得 x 0。又 x 0, f x
x 0, f x 0 ,•••函数 f x
in x2 1在x 0取得极小值。
f x 2x2 1 ,
x 4x，令
4 .曲线f x In x的凸区间是（
0,
).
，使f x无意义的点为x 0。
x
0 时，f x
•••曲线f x
In x的凸区间是
0,。
),b
1 ).
ax
5 .若 lim —
x 0 sin 2x
ax
e b lim x 0 sin 2x
ax
e
lim
x 0 2x
1 lim x 0
ax
e
ax
即 lim —
x 0
又当 x 0 时，ex 1 〜x, • a 1,b 1。
三、选择填空：
1•下列函数中，在区间 1,1上满足罗尔定理条件的是（ c. ）
a.
c. h x 1 x2
b. g x
lnx
.1
xsin x
0
d. k x
x
0 x
0
f x ex在端点的值不相等；g x In x在区间 1,1上不连续;
.1
xsi n
x
0不可导;
2
h x 1 x在区间
1,1上满足罗尔定理的条件。
c是正确的。

3 x2
3 .函数f x 2
1
x

（ a.）
0 x 1
在区间0,2上(a.)
1 x


3
x2
1, lim f x
x 1
•函数f x在x 1连续，函数f x在0,2上连续。
1
~2
x
3 x2
2
x 1
•••函数f x在x 1可导，函数f x在0,2上可导。
•函数f x在0,2上满足拉格朗日定理条件，因而 a是正确的。
4 •设f X在X。有二阶导数,
x° 0,
f X。
a.

b .有极大值
x在0,a具有二阶导数，且xf x

x 在 0,a
0,则
内是
(a.)

b .单调减少的
xf x
2
x
在0, a内是单调增加的，因而 。
x
6 .函数f x的连续但不可导的点（
d.
a.—定不是极值点
b .一定是极值点
c.—定不是拐点
d.
定不是驻点
四、计算题：
x sinx lim
x 0 x tanx
lim
x 0
x sin x
x tanx
lim
0
2.
2
cos x
xim0\1 ex
2
1 cos lim x 0 x