将军饮马问题讲义.doc

衿将军饮马问题
羇唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句
袇说:"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河."
蚅诗中隐含着一个有趣的数学问题.
袂如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下
肇的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营.
羄请问怎样走才能使总的路程最短?
肃这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.
蚁将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传.
膇将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段a+b这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。
莅一．六大模型
，直线l和l的异侧两点A、B，
蒀在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
，直线l和l的同侧两点A、B，
螆在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
蒃使△PAB的周长最小.
，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
膇使四边形PAQB的周长最小。
，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，
节使PA与点P到射线OM的距离之和最小
蚀6..如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
薈常见问题
莃首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，
羁即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连
螀线的点。
，作谁的对称？。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。（不确定的点作对称式没有意义的）那么作谁的对称点?首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。
？
螀一句话：和另外一个定点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。
？
膆首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。
薂下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：
，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
羀（1）求抛物线的解析式；
薆（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
芄【分析】（1）设交点式为y=a（x﹣1）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a=，于是得到抛物线解析式为y=x2﹣x+3；
薁（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=，连结BC交直线x=于点P