高等数学第八章-课件（PPT·精·选）.ppt

1第八章重积分定义在空间曲面上一元函数积分学: 多元函数积分学: 重积分: 曲线积分: 曲面积分: 定义在平面和空间区域上定义在平面曲线及空间曲线上定义在直线上 2第一节定积分的元素法在实际问题中,我们常要计算符合下列条件的量 U: U1 U是与某个变量 x的变化区间[ , ] a b及定义在该区间上的一个函数( ) f x有关的量; 2如果区间[ , ] a b分成 n个小区间 1 [ , ] i i x x ?( 1, 2, ) i n ? ???则量 U相应地分成 n个部分量 U?,且 ni i = 1 U = U ?? 3部分量 iU?可以用???? i i-1 i i f x x x ? ?? ??近似地表示,且 iU?与?? i f x ??之差是比 ix?高阶的无穷小 U量举例:曲边梯形的面积;变速直线运动的路程 3 定积分的元素法第一步:根据问题的具体情况,选取积分变量 x,并确定它的变化区间[ , ] a b,这就是积分区间,将该区间分成个小区间,量 U 相应地分为 nn个部分量之和; 第二步:取一典型小区间[ , ] [ , ] x x dx a b ? ?,使其上的部分量 U?可以用( ) f x dx 近似表示,而( ) f x dx 就是所求量的微分表示式,即有( ) U dU f x dx ? ??从而所求量为( ) ba U f x dx ??,该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积为已知(如图 8-1 ).解: 取定轴为 x轴,并设该立体位于过点, x a x b ? ?且垂直于 [ , ] a b 内的任一点 x作平面垂直于 x轴截立体所得的截面的面积为( ) A x,它是[ , ] a x为积分变量,它的变化区间为[ , ] a b [ , ] a b ,分割区间,取典型小区间[ , ] x x dx ?与它相应的立体体积 V?可以近似看成是底面积为( ) A x 高为 dx的小直柱体体积,即( ) V A x dx ? ?从而得到所求体积的积分元素为( ) dV A x dx ?因此,上述立体体积为( ) ba V A x dx ??第二节二重积分的概念与性质一、二重积分的概念有界闭区域的直径:指区域上任意两点距离的最大值. 区域向某一点收缩:让区域的直径趋于零. 两个术语: :底: xoy 面上的闭区域 D 顶:连续曲面 0),(??yxfz 侧面: 以D的边界为准线, i?? O y z ( , ) z f x y ?( , ) i i ? ? D x 1x 2x 3x 4x 5x 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y母线平行于 z 轴的柱面方法:元素法求其体积.(1)用任意曲线网分 D为n 个区域 n??????,,, 21?以它们为底把曲顶柱体分为 n个小曲顶柱体 i?? O y z ( , ) z f x y ?( , ) i i ? ? D x 1x 2x 3x 4x 5x 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y (2)在每个,则中任取一点 i ??( , ) i i ? ?( , ) ( 1, 2, , ) f i n i i i i ? ????? ???(3)整个曲顶柱体的体积的近似值为 1 1 ( , ) n n i i V f i i i i ? ??? ?? ??? ?? ?(4)记第 i个小区域的直径为 i?,取 1 max{ } i i n ? ????,则 01 lim ( , ) ni V f i i i ?? ????? ?? ,计算该薄片的质量 M . 度为有一个平面薄片, 在xoy 平面上占有区域 D , 其面密( , ) 0 x y ??方法:元素法 O x y ( , ) i i ? ?D i??