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小专题(十三)　证明切线的两种常用方法
类型1　直线与圆有交点
方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．
【例1】　(枣庄中考)如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠：PB是⊙O的切线．
证明：连接OB.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA.
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.
∴PB是⊙O的切线
1．(常德中考)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠：BE是⊙O的切线．
证明：连接OB，∵BD＝BC，
∴∠CAB＝∠BAD.
∵∠EBD＝∠CAB，
∴∠BAD＝∠EBD.
∵OA＝BO，
∴∠BAD＝∠ABO.
∴∠EBD＝∠ABO.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°.
∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°.
∵点B在⊙O上，
∴BE是⊙O的切线．
2．(永州中考改编)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，：CE是⊙O的切线．
证明：连接CO，OE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.∴∠BCD＝90°.
∵E是BD中点，
∴CE＝BE＝BD.
又∵OC＝OB，OE＝OE，
∴△COE≌△BOE.∴∠OCE＝∠OBE.
∵BD为⊙O的切线，∴∠OBE＝90°.
∴∠OCE＝90°.∴CE是⊙O的切线．
3．(丽水中考)如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD，BC的延长线相交于点E.
(1)求证：AD是半圆O的切线；
(2)连接CD，求证：∠A＝2∠CDE.
证明：(1)连接OD，BD，
∵AB是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°.
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB.
∵OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO.
∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO.
∴∠ADO＝∠ABO＝90°.
∴AD是半圆O的切线．
(2)由(1)知，∠ADO＝∠ABO＝90°，
∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD＝∠DOC.
∵AD是半圆O的切线，
∴∠ODE＝90°.
∴∠ODC＋∠CDE＝90°.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ODC＋∠BDO＝90°.
∴∠BDO＝∠CDE.
∵∠BDO＝∠OBD，
∴∠DOC＝2∠BDO.
∴∠DOC＝2∠CDE.
∴∠A＝2∠CDE.
类型2　不确定直线与圆是否有交点
方法归纳：直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【例2】　(贵港中考改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.