平面向量知识点总结精华).docx

平面向量知识点小结
一、 向量的基本概念
向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别 .
向量常用有向线段来表示.
注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以
平移.
举例1已知 则把向量ab按向量a」”平移后得到的向
量是 . 结果：(3，°)
零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的 方向是任意的；
单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与AB共线 的单位向量是一互)；
|AB|
相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向 量有传递性；
平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫 做平行向量，记作：a // b,
规定：零向量和任何向量平行.
注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量 平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
平行向量无传递性！(因为有o)；
三点A B、C共线二忌怎共线.
相反向量： 记作；.
举例2如下列命题：(1) 若 |a |±b|，则a&.
两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 .
若 忑
若 ABCD 抚.
若 a= , b二，则 a云
若a//b, b//c则a// . 结果：(4) (5)
二、 向量的表示方法
几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终 点在后；
符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；
坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同 的两个单位向量r,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为 a =x^ yj =(x, y)，称(x, y)为向量a的坐标，2 =(x, y)叫做向量a的坐标表示.
结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标 相同•
三、平面向量的基本定理
定理 设eg同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量， 则存在唯一实数对(—2),使a =掲•也.
(1)定理核心： ； (2)从左向右看，是对向量a的分解，且 表达式唯一；反之，是对向量a的合成.
(3)向量的正交分解：当 議时，就说a山•瘟为对向量a的正交分 解.
结果:
B
(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
举例3 (1)若 a=(i,i), b“2), c*,2), 则匚 .
A. e ^0,0) , &£,<) B. , & 35,7) C. 2^3,5) , 1=6,10)
D. & 至,® , & 二 a_b ab=o；
，当
已知AD,BE分别是△ ABC的边BC , AC上的中线，且7D二，隹耳则7C
可用向量a,b表示为 . 结果：|a -3b.
已知 MBC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD =2DB , CD =rAB sAC，则 r s=的 值是 . 结果：0.
四、实数与向量的积
实数，与向量a的积是一个向量，记作 时，它的长度和方向规定如 下：
模：I 罰|a| ；
方向：当■ 0时，a的方向与a的方向相同，当■ <0时，-a的 方向与a的方向相反，当’=0时，a=0,
、卜 \ 、、八 J
注意：
五、平面向量的数量积
两个向量的夹角：对于非零向量a， b，作視夏，，则把 .aob -宦0 ◎ <7：)称为向量a， b的夹角.
当v-0时，a， b同向；当卄二时，a， b反向；当 时，a， b垂
2 直.
平面向量的数量积：如果两个非零向量a, b，它们的夹角为 我们把数量〔aiibasr叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作：ab, 艮卩 a b 斗 i b | cos v.
规定：零向量与任一向量的数量积是 0.
注：数量积是一个实数，不再是一个向量.
■9.
(2)已知a
O' .
-
■b
1 厶
c J4kb，二匕，c与d的夹角为M，则k =
果:
结果
结果
举例 4 ( 1)△ ABC 中，7§|=3，I AC^4，|BC^5，则"BC「= . 结
已知ia^2,〔by, ab・，则倩我 . 结果：押.
已知a,b是两个非零向量，且闵品羽肩，则a与X的夹角为
: 30】
• ■
：ibicosv，它是一个实数，但不一定大于 0.
举例5 已知〔a〔=3, Em，且a b^2，则向量a在向量b上的投影为
12
(3)非零向量a, b夹角二的计算公式：cos二b ；④ab^iibi.
|a||b|
举例6 ( 1)已知a,2,), bg)，