大一下高数论文(1).doc

大一下高数论文


大一下学期，我们主要学了微分方程，,从中我们可以了解到微分方程用的广泛性以及解决具体问题时常采用的一般步骤.
应用微分方程解决具体问题的主要步骤:
(1)分析问题,将实际问题抽象,设出未知函数，建立微分方程,并给出合理的解;
(2)求解微分方程的通解及满足定解条件的特解,或由方程讨论解的性质;
(3)由所求得的解或解的性质,回到实际问题,解释该实际问题,得出客观规律.
微分方程的应用举例
几何问题

我们来求这样的曲线或曲线族,,（如天文,气象等）.
首先把问题进一步提明确一些.
设在（x,y）平面上,给定一个单参数曲线族（C）:求这样的曲线,使得与(C)中每一条曲线的交角都是定角 .
设的方程为=.为了求,我们先来求出所对应满足的微分方程,也就是要求先求得, ,（C）的曲线相交成定角,于是,可以想象,和必然应当与（C）中的曲线=,当≠时,有
或

当=时,有

又因为在交点处,=,于是,如果我们能求得, ,的关系
采用分析法.
设=为（C）中任一条曲线,于是存在相应的C,使得

因为要求,y, 的关系,将上式对x求导,得

这样,将上两式联立,即由

消去C,就得到所应当满足的关系
这个关系称为曲线族（C）的微分方程.
于是,等角轨线（≠）的微分方程就是

而正交轨线的微分方程为

为了避免符号的繁琐,以上两个方程可以不用,而仍用y,只要我们明确它是所求的等角轨线的方程就行了.
为了求得等角轨线或正交轨线,我们只需求上述两个方程即可.
例1 求直线束的等角轨线和正交轨线.
解 首先求直线束的微分方程.
将对求导,得=C,由
消去C,就得到的微分方程
当≠时,由（）知道,等角轨线的微分方程为
或
及
即
积分后得到
或
如果=,由（）可知,正交轨线的微分方程为
即
或
故正交轨线为同心圆族.
例2 抛物线的光学