直线与椭圆解答题.docx

解析几何解答方法
2 2
1•已知椭圆 冷•占=1(a b ■ 0)上的点到其两焦点距离之和为 4，且过点(0,1).
a b
(I)求椭圆方程;
B(x2 , y2)，右
(n) O为坐标原点，斜率为 k的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点 A(x1, y1),
竽AOB的面积.
依题意有a =2 ,
故椭圆方程为—y2 = 1 .
4
因为直线 AB过右焦点(-.3,0),设直线 AB的方程为 y = k(x-、3).
■ 2
x 2彳 y 1,
联立方程组 4
y =k(x 73).
消去y并整理得(4 k2
1)x2 -8、.3k2x 12k2 -4 =0 . (*)
故洛X2字,
4k +1
心曲一4
2
4k 1
y1y 2二 k(x「I 3 k
x1x2
=0，即于 ％y2 =0 .
a b 4
所以3k -1 上_
10
2 2 =0，可得k2二丄，即k 2
4k2 1 4k2 1 2 2
方程(*)可化为3x2 -4・.3x • 2 = 0 ,
由 AB = J1+k2
X1 — X?,可得 AB = 2 .
11
12
原点O到直线AB的距离d 3k 1 .
Jk2+1
13分
1 所以S加b=Jab d
2 2
X y
：r 2 =1(a b . 0)的离心率为
a b
1
丄，过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于
2
点M (点M在第一象限).
(I)求椭圆G的方程；
(H)已知 A为椭圆G的左顶点，平行于 AM的直线丨与椭圆相交于 B,C两点•判断直线 MB,MC是否关
于直线m对称，并说明理由. 解：(I)由题意得c = 1 ,
由 可得a = 2,
a 2
所以 b2 二 a2 -c2
所以椭圆的方程为
2 2
x y ’
1.
4 3
3
(H)由题意可得点 A(-2,0), M(1-),
2
1
所以由题意可设直线l : y x • n ,n =1 .
2
设 B(X1,yJ,C(X2,y2),
'2 2
x y ‘
1,
4 3 得 x2 nx n 2-3=0.
1
y x n
2
2 2 2
由题意可得二 n 4(n 3) -12 - 3n
2 小
禺 X2 二—n,x〔X2 二 n —3.
0,即 n (-2,2)且 n =1.
3 3
y1 ^2~~
因为 kMB - kMC 二 '
X1 — 1 X2 — 1
10 分
1 3 1 3
为 n x2 n「
=2 2 . 2 2 _ 1 .门-1 . n -1
X[ - 1 X2 _ 1 X1 _ 1 X2 _ 1
=1
(n - 1)(X1 X2 - 2)
x1x2
-(X1 X2) 1
(n -1)(n 2)
n2 n - 2
所以直线MB,MC关于直线m对称.
13 分
14 分
2 2
3•如图，椭圆 笃•爲=1(a b 0)的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于 A , B两点•当直线 AB经
a b
过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 60 •
(I)求该椭圆的离心率;
设线段AB的中点为G ,
AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点•记△ GFD的面积为
_ -8ck2
4k2 3 '
6ck
y1 y2=k(X1 X2 2沪 4^，
G(
2
—4ck 3ck )
4k2 3,4k2 3)
S 一
S ,△ OED ( 0为原点的面积为S2，求s；的取值范围•
(I)解：依题意，当直线
AB经过椭圆的顶点(0,b)时，其倾斜角为60 •
设 F(—c,0),
b 0
贝y _ =ta n60 =73 • 2 分
c
将 b = •. 3c 代入 a； =b； c；,
解得 a = 2c • 3分
c 1
所以椭圆的离心率为 • 4分
a 2
2 2
(n)解：由(I)，椭圆的方程可设为-y7 =1 • 5分
4c 3c
设 A(X1,yJ , B(X2,y2)•
依题意，直线 AB不能与x,y轴垂直，故设直线 AB的方程为y =k(x • c)，将其代入
2 2 2 222222
3x 4y =12c，整理得(4k 3)x 8ck x 4k c -12c