《平方逼近离散》PPT课件.ppt

第六章
函数逼近（曲线拟合）
Date
1
精选PPT
第六章目录
§1 最小二乘法原理和多项式拟合
§2 一般最小二乘拟合


§3 正交多项式曲线拟合


§4 函数的最佳平方逼近
§5 最佳一致逼近
Date
2
精选PPT
函数逼近（曲线拟合）概述
用简单的计算量小的函数P(x) 近似地替代
给定的函数f (x)（或者是以离散数据形式给
定的函数），以便迅速求出函数值的近似值
，是计算数学中最基本的概念和方法，称为
函数逼近。通常被逼近的函数一般较复杂，
或只知道离散点处的值，难于分析，而逼近
函数则比较简单，如选用多项式，有理函数
，分段多项式，三角多项式等。
Date
3
精选PPT
函数逼近（曲线拟合）概述（续）
在大量的实验数据(xi,yi)(i =1,2,…,n) 中寻找其函数关系y =f (x) 的近似函数P (x)，是在实践中常遇到的。上一章介绍的插值方法就是一种逼近，要求在给定的节点处P(x) 与f (x)相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效果较好，而在远离节点的地方，由Runge现象知道，有时效果会很差，另一方面，由观测得到的实验数据不可避免地带有误差，甚至是较大的误差，此时要求近似函数P(x)过全部已知点，相当于保留全部数据误差，所以使用插值法不合适。因此，对逼近函数P(x)不必要求过给定的点，即不要求P(xi) = yi(i =1,2,…,n)，只要求P(xi) – yi 总体上尽可能小即要求P(x)尽可能反映给定数据点的总体趋势，
在某种意义（要求或标准）下与函数最“逼近”。
下面先举例说明。
Date
4
精选PPT
函数逼近举例
给定一组实验数据如上，求x, y的函数关系。
例1
1
2
3
4
2
4
6
8




i
xi
yi
解 先作草图如图6-1所示这些点的分布接近一条直线，因
此可设想，y为x的一次函数。设y = a0+a1x，从图中不难看
出，无论a0，a1取何值，直线都不可能同时过全部数据点。
怎样选取a0，a1才能使直线“最好”地反映数据点的总体趋
势？首先要建立好坏的标准。
假定a0，a1已经确定，yi* = a0+a1xi(i =1,2,…,n) 是由近似
函数求得的近似值，它与观测值
yi 之差ri = yi yi*=yi  a0a1xi
(i =1,2,…,n) 称为偏差。显然，
偏差的大小可作为衡量近似函数好坏的标准。偏差向量
r = (r1,r2,…,rn)T，
y
x
8
6
4
2
2
4
6
8
*
*
*
*
图6-1
Date
5
精选PPT
例1（续）
（1）使偏差的绝对值
之和最小，即:
（2）使偏差的最大绝对 值达到最小，即:
（3）使偏差的平方和最小，即:
在离散情况下,也称为曲线拟合的最小二乘法,是实践中常用的一种函数逼近方法。
常用的准则有以下三种：
准则（1）的提出很自然也合理，但实际使用不方便，
按准则（2）求近似函数的方法称为函数的最佳一致逼近
按准则（3）确定参数，求近似函数的方法称为最佳平方逼近,
ri = yi yi*=yi  a0a1xi
Date
6
精选PPT
函数的近似替代，求近似函数称为逼近
要求（准则或标准）不一样，逼近的意义不一样，因此，方法不一样，结果也不一样。插值是逼近，满足条件Ln(xi)=yi 是在“过给定点”意义下的逼近。要求Ln(xi)-yi 总体上尽可能小,满足准则（3）称为最佳平方逼近,在离散情况下,也称为曲线拟合的最小二乘法.
Date
7
精选PPT
§1 最小二乘法原理和多项式拟合
一、曲线拟合的最小二乘法基本原理
对给定的数据(xi,yi)(i =1,2,…,n)，选取近似函数形式，
即在给定的函数类Φ中，求函数(x)Φ，使偏差
ri=(xi)yi (i=1,2,…,n) 的平方和为最小，即:
亦即:
从几何上讲，就是求在给定的点x1,x2,…,xn处与点(x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn)的距离平方和最小的曲线y =  (x)。这种求近似函数的方法称为离散数据曲线拟合的最小二乘法，函数 (x) 称为这组数据的最小二乘拟合函数。通常取Φ为一些较简单函数的集合如低次多项式，指数函数等。例1中取Φ为一次多项式集合。
Date