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第二十一章
一元二次方程
一元二次方程
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是
2 次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点：
(1)
只含有一个未知数； (2)
且未知数次数最高次数是
2；(3)
是整式方程．要判断一个方
程是否为一元二次方程，
先看它是否为整式方程， 若是，再对它进行整理． 如果能整理为
ax 2+bx+c=0(a≠0) 的形式，
则这个方程就为一元二次方程．
（ 4）将方程化为一般形式：
ax 2+bx+c=0 时，应满足（ a≠0）
降次——解一元二次方程
1．一元二次方程的解法
(1) 直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如 x 2
a (a ≥0) ，(x a) 2
b (b ≥ 0) 类的
一元二次方程． x 2
a ，则 x
a ； ( x
a) 2
b ， x
ab ， x
a
b ．对有些一元二次方程，本
身不是上述两种形式，但可以化为
x 2
a 或 ( x
a) 2
b 的形式，也可以用此法解．
因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用
此法来解．要清楚使乘积 ab＝0 的条件是 a＝0 或 b＝0，使方程 x(x －3) ＝0 的条件是 x＝ 0 或 x－3
＝ 0． x 的两个值都可以使方程成立，所以方程 x(x － 3) ＝0 有两个根，而不是一个根．
配方法：任何一个形如 x 2 bx 的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一
个二项式的完全平方， 把方程归结为能用直接开平方法来解的方程． 如解 x 2
6x 7
0 时，可把方程
2
2
化为 x 2 6x
x 2
6x
6
7
6
2 ，从而得解．
7 ，
2
2 ，即 (x 3)2
注意： (1) “方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是
1．
解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．
(3) 公式法：一元二次方程 ax2 bx c 0 (a ≠0) 的根是由方程的系数 a、b、c 确定的．在 b 2 4ac 0
x

b b2 4ac
的前提下， 2a ．用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①先把方程化为一般形式，即 ax 2 bx c 0 (a ≠ 0) 的形式；②正确地确定方程各项的系数 a、b、c 的值 ( 要注意它们的符号 ) ；
2
③计算 b 4ac 0 时，方程没有实数根，就不必解了 ( 因负数开平方无意义 ) ；
说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．
2．一元二次方程根的判别式
一元二次方程的根有三种情况： ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数
根．而根的情况，由 b 2 4ac 的值来确定．因此 b 2 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 bx c 0 的根的判别式．
△>0 方程有两个不相等的实数根．
△＝ 0 方程有两个相等的实数根．
△<0 方程没有实数根．
判别式的应用
不解方程判定方程根的情况；
根据参数系数的性质确定根的范围；
解与根有关的证明题．
3．韦达定理及其应用
定理：如果方程 ax 2
bx c 0 (a ≠0) 的两个根是 x 1，x 2 ，那么 x1 x 2
b
， x 1
x 2
c
a
a ．
当 a＝ 1 时， x 1x 2
b， x 1 x 2 c ．
应用：
已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；
已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；
已知两数和与积求两数．
4．一元二次方程的应用
面积问题；
数字问题；
平均增长率问题．步骤：
①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系 ( 包括隐含的 ) ；②设未知数，并用所设的未知数的代数式