时域离散相似法.doc

第三章 时域离散相似法
用数字计算机对一个连续系统进行仿真时，必须将这个系统看作一个时间离散系统。也就是说，我们只能计算到各状态量在各计算步距点上的数值，它们是一些时间离散点的数值。在第二章中主要是从数值积分法的角度来讨论数字仿真问题，没有显式地涉及到“离散”这个概念。史密斯从控制和工程的概念出发提出离散相似问题[1]，并导出离散相似法。
所谓“离散相似法”就是将一个连续系统进行离散化处理，然后求得与它等价的离散模型。由于连续系统的模型可以用传递函数来表示，也可以用状态空间模型来表示，因此，与连续系统等价的离散模型可以通过两个途径获得，其一是对传递函数作离散化处理得离散传递函数(或脉冲传递函数)，称为频域离散相似模型。其二是基于状态方程离散化，得到时域离散相似模型。本章介绍时域离散相似法，第四章介绍频域离散相似法。
时域离散相似法基本原理

假设有一个连续系统，它由以下状态方程描述：
u ()
对于()式描述的连续系统进行离散化处理，。

信号重构
T
T




在系统的输入端加上虚拟采样开关和虚拟信号重构器，输出端加一个虚拟采样开关。虚拟采样周期为T且同步。其中，u (t)是系统输入；u (k)是加虚拟采样开关后，在kT时刻系统输入；x(k)是加虚拟采样开关后在kT时刻系统输出；、是等价的连续信号。只要能足够精确地表示u (t)，那么也就能足够精确地表示，这样，就能获得与连续系统等价的时域离散相似模型。
：
x[(k+1)T)]= x(kT)+ u(kT)+m(T) ()
其中：T是采样时间间隔(或称采样周期)；u (k)、x (k)为系统kT时刻的输入及状态量；为离散化后与系统模型有关的系数。下面将讨论怎样从()式经离散化处理获得()式所示的时域离散相似模型。
将方程两边取拉氏变换，经整理得到：
x (s)=(sI－A )-1x (0)+(SI－A)-1x(0)+(sI－A )-1Bu (s) ()
设 F(t)=L-1[(sI－A)-1 ] ()
则F(t)=eAt 称作状态转移矩阵。将()式代入()，可得到：
x (s)=L[F(t)]x(0)+L[F(t)]Bu (s) ()
由卷积公式：称作f和g的卷积，可以写作f*g，其中，Lf (t) =F (s)，Lg (t) = G (s)．()式取反拉氏变换，运用卷积公式得到：
()
对离散化处理后的系统，设kT及(k+1)T为两个依次相连的采样瞬时，则有：
x (kT) = eAkTx (0)+ ()
x [ (k+1)T)] = eA(k+1)Tx (0)+ ()
将()式－()式*eAT,可得：
x [ (k+1)T)] = eATx (kT)+ ()
由于()式右端的积分与k无关，故可令k=0，若信号重构器使kT与(k+1)T之间的不变，即积分式中的保持常数,那么，()式可改写为：
x [ (k+1)T)] = eATx (kT)+
=F(T)x (kT)+F(T-t) ()
若令F(T－t)=Fm(T)，则有：
x [ (k+1)T)] =F(T)x (kT)+Fm(T) ()
这就是一个离散状态方程。
()式是在假定信号重构器使输入量u (t)在两个采样时刻之间保持不变这样的前提下推导出来的，。实际上，输入量在两个采样时刻之间是变化的，这样就会引起误差。为了减小误差，可以假定在两个采样时刻之间，信号重构器使为一斜坡函数，即