初三数学圆知识点总结一、本章知识框架二、本章重点 1 .圆的定义: (1) 线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形成的封闭曲线, 叫做圆. (2) 圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2 .判定一个点 P 是否在⊙O上. 设⊙O 的半径为 R, OP=d ,则有 d>r 点P在⊙O外; d=r点P在⊙O上; d<r 点P在⊙O内. 3 .与圆有关的角(1) 圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2) 圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质: ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. ③ 90° 的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角. (3) 弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角. 弦切角的性质:弦切角等于它夹的弧所对的圆周角. 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半. 4 .圆的性质: (1) 旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合; 圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等. (2) 轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论: (1) 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. (2) 平分弦( 不是直径) 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3) 弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧. (4) 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. (5) 平行弦夹的弧相等. 5 .三角形的内心、外心、重心、垂心(1) 三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心, 在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示. (2) 三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用 O 表示. (3) 三角形重心: 是三角形三边中线的交点, 在三角形内部; 它到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍,通常用 G 表示. (4) 垂心:是三角形三边高线的交点. 6 .切线的判定、性质: (1) 切线的判定: ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离 d 等于圆的半径的直线是圆的切线. (2) 切线的性质: ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3) 切线长: 从圆外一点作圆的切线, 这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4) 切线长定理: 从圆外一点作圆的两条切线, 它们的切线长相等, 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 7 .圆内接四边形和外切四边形(1) 四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形, 圆内接四边形对角互补,外角等于内对角. (2) 各边都和圆相切的四边形叫圆外
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