高等数学 隐函数求导-课件【PPT讲稿】.ppt

目录上页下页返回结束第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数隐函数和参数方程求导第二章目录上页下页返回结束31??xy 一、隐函数的导数若由方程 0),(?yxF 可确定 y 是x的函数 , 由)(xfy?表示的函数 , 称为显函数 . 例如,01 3???yx 可确定显函数 032 75????xxyy 可确定 y 是x的函数 ,但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此隐函数求导方法:0),(?yxF0),(d d?yxFx 两边对 x求导( 注意 y = y(x ) ) (含导数的方程) y ?(隐函数的显化) 032 75????xxyy)(xyy?在 x = 0 d?xx y 解: 方程两边对 x求导????)32(d d 75xxyyx 得x yyd d5 4x yd d2? 1? 621x? 0?25 21 1d d 4 6????y xx y 因x = 0 时y = 0 , 故2 10d d??xx y 0 1916 22?? yx 在点)3,2( 2 3 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x求导 8 xyy ???9 20?y ?? 23 2 3?? xyy x16 9?? 23 2 3?? xy4 3??故切线方程为 32 3?y4 3??)2(?x 即03843???yx 目录上页下页返回结束 1 sin 0 2 x y y ? ? ? 22. d y dx 的一阶导数确定的隐函数求由方程练习: 二阶导数, dydx解: 方程两边对 x求导, 得 d 2 d 2 cos y x y ? ?? 1 1 cos 0 2 dy dy y dx dx ? ? ?? 22 ( ) d y d dy dx dx dx ? d 2 ( ) d 2 cos x y ?? 2 2sin (2 cos ) y y y ?? ??? 2 2sin 2 (2 cos ) 2 cos y y y ?? ?? ? 3 4sin (2 cos ) yy ???目录上页下页返回结束隐函数求高阶导数法 1:由隐函数直接求出一阶导数, 2:反复用隐函数的表达式直接求 n阶导数. 目录上页下页返回结束例3.)1,0(,1 44 处的值在点求设yyxy x ?????解求导得方程两边对 x 34x得代入 1,0??yx ;4 1 1 0????y xy 求导得两边再对将方程 x)1(04)(12 212 322 2???????????yyyyyxyx得 4 1 1 0????y xy,1,0??yx 1 1 0??????y xy y? xy ?? 3 4 0 (1) y y ?? ?目录上页下页返回结束练习设)(xyy?由方程 ee??yx y 确定, ,)0(y ?解:方程两边对 x求导, 得0e?????yxyy y 再求导, 得?? 2ey y????yx y) (e 02??y ②当0?x 时,,1?y 故由①得e 1)0(???y 再代入②得2e 1)0(???y 求.)0(y ??①目录上页下页返回结束观察函数.,)4 )(3( )2 )(1( sin xxyxx xxy??????方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. -------- 对数求导法适用范围:对数求导法,可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导对数求导法目录上页下页返回结束例4. 求)0( sin??xxy x 的导数. 解: 两边取对数, 化为隐式 xxy ln sin ln??两边对 x求导 yy ? 1xx ln cos ??x x sin ?) sin ln cos ( sinx xxxxy x?????