行列式计算.doc

论行列式的计算方法摘要:归纳行列式的各种计算方法,并举例说明了它们的应用,同时对若干特殊例子进行推广。关键词:行列式;范德蒙行列式;矩阵;特征植;拉普拉斯定理;析因法;辅助行列式法行列式的计算灵活多变,需要有较强的技巧。当然,任何一个 n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知,n 阶行列式的展开式有 n!项, 计算量很大, 一般情况下不用此法, 但如果行列式中有许多零元素, 可考虑此法。值的注意的是: 在应用定义法求非零元素乘积项时, 不一定从第 1 行开始, 哪行非零元素最少就从哪行开始。接下来要介绍计算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行(列)展开法。方法 1 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上(下) 三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上(下) 三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上,每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式, 在一般情况下, 计算往往较繁。因此, 在许多情况下, 总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形,再将其化为三角形行列式。例1: 浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第 2 小题( 重庆大学 200 4 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1 小题)的解答中需要计算如下行列式的值: 1 2 3 1 2 3 4 1 3 4 5 1 2 1 2 2 1 n n n nD n n n ??? ????? ?? ???[ 分析] 显然若直接化为三角形行列式,计算很繁,所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第 1 列开始;每一列与它一列中有 n-1 个数是差 1 的,根据行列式的性质,先从第 n-1 列开始乘以- 1 加到第 n 列,第 n-2 列乘以- 1 加到第 n-1 列, 一直到第一列乘以- 1 加到第 2列。然后把第 1 行乘以- 1 加到各行去, 再将其化为三角形行列式,计算就简单多了。解: ( 2, , ) ( 2, , ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 0 0 3 1 1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 ( 1) 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ( 1) ( ) 2 nn i n r r i n r r n n n D n n n n n n nnnnn n n n n n nn n n n n nn ????? ??? ?? ??? ??????? ????? ??? ? ????? ?? ?? ?? ?????????? ?? ?????? ? ??? ?????????( 1)( 2) 12 ( 1) 12 ( 1) ( 1) 12 n n n n nnn ? ????? ??? ???[ 问题推广]例1 中,显然是 1,2 ,…, n-1,n 这n 个数在循环,那么如果是 a 0 ,a 1,…,a n-2 ,a n-1 这n 个无规律的数在循环, 行列式该怎么计算呢?把这种行列式称为“循环行列式”。[2] 从而推广到一般,求下列行列式: 0 1 2 1 1 0 1 2 2 3 4 1 1 2 3 0 ( , 0,1, , 1) n n n n