简单多面体外接球问题总结.docx

简单多面体外接球球心的确定
一、知识点总结

⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点
⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点
⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点
⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到 •
⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心
2 .构造长方体或正方体确定球心
⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥
⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥
⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体
⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体

利用球心0与截面圆圆心01的连线垂直于截面圆及球心 0与弦中点的连线垂直于弦的性质， 确
定球心.
二：常见几何体的外接球小结
1、设正方体的棱长为 a，求(1)内切球半径；(2)外接球半径；(3)与棱相切的球半径。
(1 )截面图为正方形 EFGH的内切圆，得 R=-；
2
与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 4作截面图，
6
圆0为正方形EFGH的外接圆，易得 R a。
2
正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上， 如图5，以对角面AA1作截面图得，圆0
为矩形AA1C1C的外接圆，易得 R二A,0 3 a。
2
01 心
图1
a , O也是球心）
2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为
内切球半径为:
外接球半径为:
三：常见题型
6
r a
12
R工

4,
体积为
解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的
补形法
，且侧棱长均为 一3，则其外接球的表面积是 _.
解析：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a、b、c，则就可以
将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 .设其
外接球的半径为 R，则有2R二,a2 b2 c2 .
O
B
A 图3
C
C
- ABCD的底面边长和各侧棱长都为 2，点
S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为 .
解析：寻求轴截面圆半径法
，AB =4,BC =3，沿AC将矩形ABCD折成
一个直二面角 B - AC - D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）
解析：确定球心位置法 四：练习
1、已知点P、A B C、D是球0表面上的点，P