换元法计算三重积分.ppt

第三节
三重积分
换元法计算三重积分
、柱面坐标求三重积分
二、球面坐栎求三重积分
回顾重积分的概念
引例:设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的
物质,密度函数为(x,y,z)∈C求分布在g内的物质的
质量M
解决方法:类似二重积分解决问题的思想,采用
分割,近似,求和,取极限
Q
可得
im∑(5k,m,k)△vk
k,k,
定义设f(xy,3),(x,3)∈,若对作任意分割
△vk(k=1,2,…,n),任意取点(5k,mk,5k)∈△vk,
下列“和式”极限
记作
im∑f(5k,7k,5k)△vk
f(x, y, z)dv
→>0k=1
存在,则称此极限为函数f(x,y,x)在上的三重积分
dv称为体积元素,在直角坐标系下常写作 dxdydz

先假设连续函数f(x,y,)≥0,并将它看作某物体
的密度函数,通过计算该物体的质量引出下列各计算
方法:
(“先一后二”)
(“先二后
最后,推广到一般可积函数的积分计算.
方法1,投影法(“先一后二”)
找2及在xO面投影区域D过D上一点(x,y)“穿线ˉ定
的积分上下限,完成了“先一”这一步(定积分);进而按照
二重积分的计算步骤计算投影区域D上的二重积分,完成”后
这一步。
f(x, y, z)dv
d xd
f(x,y, zdz
1(x,y)
(“先二后
(x,y)∈D
C≤x≤d
以D为底,dx为高的柱形薄片质量为
f(x,y, z)dxd y ) dz
该物体的质量为
面密度≈
f(x, y,z)dv
x,y,d
f(x,y,z)dxd y)dz
作
o f(x,y,z)dxdy

设M(x,y,x)∈R3,将x,y用极坐标p,代替,则(p,O,x)
就称为点M的柱坐标、.直角坐标与柱面坐标的关系
x=pcos 0
0≤0<+0
y=psin 6
0<6<2丌
0<<+00
Dy, 2
坐标面分别为
p=常数一圆柱面
0=常数一半平面
常数一平面
如图所示,在柱面坐标系中体积元素为,在二重积分的时候我
们讲过极坐标的转化面积微元为dG= ddp zt od
体积微元dv=pdpd6dx
d
因此
f(x, y, z)dxdydz
II F(P, 0, 2)pd pde dz
其中F(p,,x)=f(pcos6,psin,z)4x
d e do
适用范围:
积分域表面用柱面坐标表示时方程简单
2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离
例工计算三重积分122+yy共中为由
柱面x2+y2=2x及平面
z=0,x=a(a>0),y=0所围
成半圆柱体
0≤p≤2cosb
解:在柱面坐标系下9:0≤6≤5
先二后一
0≤x≤a
原式=D:x02dpdz
032d
2 cos 2
x p=2cos 0
p dp
8
cosd=
9
例2计算三重积分1+,其中地物面
2+y2=4z与平面z=h(h>0)所围成
≤z≤h
解:在柱面坐标系下Ω:{0≤p≤2h
0≤≤2丌
原式=1+x2+
dxdyl dz
de
hp,dP」2d
JO
2、h
=2丌
(h-)d
01+P
4
[(1+4h)ln(1+4/h)-4h]