高中数学竞赛模拟题1-5.doc

2011年全国高中数学联赛模拟试题一
一试
一．填空题（每小题8分，共64分）
1．函数在上的最小值是 ．
2. 函数的值域是 ．
3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a−2b+10>0成立的事件发生的概率等于 ．
4．设数列的前项和满足：，，则通项= ．
,N两点,且,(为原点),当椭圆的离心率时,椭圆长轴长的取值范围是 ．
6．函数的最大值是 ．
7．在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为若到点、的“直角距离”相等，其中实数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为 ．
8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．

（共56分）
9.（16分） 已知定义在上的函数满足：，且对于任意实数，总有成立.
（1）若数列满足，求数列的通项公式；
（2）若对于任意非零实数，，判断和 的大小关系，并证明你的结论.
10.（20分）设，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数，．
11.（20分）若、、，且满足，求的最大值。
加试
一．（40分）在平面直角坐标系上，给定抛物线：．实数满足
≥，是方程的两根，记．
（1）过点作的切线交轴于点．证明：对线段上的任一点，有；
（2）设≤，≥．当点取遍时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）.
二．（40分）如图，给定凸四边形，，是平面上的动点，令．
（Ⅰ）求证：当达到最小值时，四点共圆；
（Ⅱ）设是外接圆的弧ＡＢ上一点，满足：，，，又是圆Ｏ的切线，，求的最小值．
二题图
三．（50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。
四．（50分）求证：对均有无穷多个正整数，使得中恰有i个可表示为三个正整数的立方和。
模拟试题一参考答案

第一试
填空题（每小题8分，共64分）
．当时，，因此
，当且仅当时上式取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为2．
2.
设t=sinx+cosx=
因为所以又因为t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以
因为t-1，所以，所以y-1.
所以函数值域为
3. 。甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。由不等式a−2b+10>0得2b<a+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b=6时，a可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种。于是，所求事件的概率为。
4. 。，
即 2
=，
由此得 2．
令， ()，
有，故，所以．

5. 。由,可得 ①
由得,即,将,
代入得,即,因为,得
,得,有,解得.
6. 。函数的定义域为，且。
当且仅当，等号成立，即时函数取最大值。
7. 。由条件得 --------①
当时，①化为，无解；
当时，①化为，无解；
当时，①化为 -------②
若，则，线段长度为１；