平面问题的极坐标解答-上.doc

第一章平面问题的极坐标解答
第一节极坐标中的平衡微分方程
对于由径向线和圆弧线围成的圆形、圆环形、楔形、扇形等的弹性体,宜用极坐标求解平面内任一点P的位置,用径向坐标及环向坐标来表示
为了表明极坐标中的应力分量,从所考察的薄板或长柱形体中取出任一厚度等于1的微分体,在平面上,这个微分体是由两条径向线(夹角为)和两条环向线(距离为)所围成
应力和体力
沿方向的正应力称为径向正应力。用代表;沿方向的正应力称为环向正应力或切向正应力,用代表;切应力用及代表(根据切应力的互等关系,=)。各应力分量的正负号规定和直角坐标中一样,只是方向代替了方向,方向代替了方向。
即正面上的应力以沿正坐标方向为正,负面上的应力以沿负坐标方向为正,反之为负。图中所示的应力分量都是正的。
径向及环向的体力分量分别用及代表,以沿正坐标方向为正,反之为负。
与直角坐标中相似,由于应力随坐标的变化,设PB面上的径向正应力为,则AC面上的将为;同样,这两个面上的切应力分别为及。PA和BC两个面上的环向正应力分别为及;这两个面上的应力分别为及。
各面面积
PB及AC的面积分别等于及;两个面PA及BC的面积都等于,但此两面不平行。微分体的体积等于。
将微分体所受各力投影到微分体中心的径向轴上,列出径向的平衡方程,得
由于微小,=, =1。用=,三阶微量与二阶微量相比,可以省去,再除以,得
这样,极坐标中的平衡微分方程就是
(4-1)
极坐标的几何方程和物理方程
在极坐标中,用代表径向线应变(径向线段的线应变),用代表环向线应变(环向线段的线线应变),用代表切应变(径向与环向两线段之间的直角的改变);用代表径向位移,用代表环向位移。
通过任一点,分别沿正方向作径向和环向的微分线段,,
1、微分线段上的形变分量和位移分量之间的几何关系。
假定只有径向位移而没有环向位移,
1)线应变
。这个径向位移,径向线段PA移到,环向线段PB移到,而三点的位移分别为
, , 。
可见,径向线段PA的线应变为
。(a)
环向线段PB移到。,通过点作圆弧线。与的夹角是微小的,因此,略去高阶微量后,得到(见2-4)。由此,环向线段的线应变是
。(b)
项可以解释为:由于径向位移引起环向线段的伸长应变。它表示,半径为的环向线段,由于径向位移引起环向线段的伸长应变。它表示,半径为的环向线段,由于径向位移而移到时,它的半径成为(),长度成为,伸长值与原长之比,便是环向线应变。
2)角应变
概念,角应变=变化后的角度-变化前的角度
角
x
x