极坐标与参数方程知识点总结.docx

第一部分：坐标系与参数方程
【考纲知识梳理】
1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点 ，在变换
x
?x,
0的作用下，点P x, y对应到
y
?y,
0
Ox，叫做极轴；再选定一个长度单
点P x , y ,称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ，简称伸缩变换
极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图(1)所示,在平面内取一个定点 0 ,叫做极点，自极点0引一条射线 位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系
注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景 ，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ；平面直
角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 ，而极坐标系则不可•但极坐标系和平面直角坐标系都是平 面坐标系•
(2)极坐标 设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线0M为终边 的角 xOM叫做点M的极角，记为•有序数对 ，叫做点M的极坐标，记作M , • —般地，不作特殊
说明时，我们认为 0,可取任意实数•特别地，当点M在极点时，它的极坐标为 0, R。和直角坐
2 ,那么除极点外，平面内的点可
标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示 .如果规定 0,0
表示的点也是唯一确定的
,x轴的正半轴作为极轴
,它的直角坐标是 x, y
用唯一的极坐标 ， 表示；同时，极坐标
3・极坐标和直角坐标的互化
互化背景：把直角坐标系的原点作为极点 同的长度单位，如图(2)所示：
互化公式：设M是坐标平面内任意一点
于是极坐标与直角坐标的互化公式如表 ：
点M
直角坐标 x, y
极坐标 ，
x cos
2 2 2
x y
互化公式
y sin
tan ' x 0
x
在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角
4・常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
G)左
r 0 2
圆心为r，0，半径为r的圆
2r — -
2 2
圆心为 r，一 ，半径为r的圆
2
O j
2r sin 0
过极点，倾斜角为 的直线
⑴
R或 R
(2)
0或 0
过点a，0，与极轴垂直的直线
1
cos a — —
2 2
过点 a，—，与极轴平行的直
2
线
—i
()
(叭y)
—
X
sin a 0
注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一 ，即，，，2 , , , , 都表示同一
点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同 .所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 ，只要求至
少有一个能满足极坐标方程即可•例如对于极坐标方程 点M —可以表示为
4 4
5
M , 2 或M—, 2 或M , 等多种形式，其中，只有M , 的极坐标满足方程
4 4 4 4 4 4 4 4
二、参数方程
参数方程的概念
x ft
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y都是某个变数t的函数 ①,并且
y g t
对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点 M x, y都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参 数方程,联系变数 x, y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的
方程叫做普通方程•
参数方程和普通方程的互化
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 ，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通
方程•
如果知道变数 x, y中的一个与参数t的关系，例如x f t ,把它代入普通方程，求出另一个变数与参
x f t
数的关系y g t ,那么 就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中 ，必须使x,y的
y g t
取值范围保持一致•
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设
参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
圆的参数
如图所示，设圆 0的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆 0上作匀速圆周运动，设
x r cos
M x,y，则 为参数。这就是圆心在原点 0，半径为r的圆的参数方程，其中 的几何意
y r si n
义是OM o转过的角度。圆心为
a,b，半径为r的圆的普通方程是
b2
r2
它的参数方程为：
X a rcos为参数。 y b r si n
4•椭圆的参数方程
2
以坐标原点0为中心,
焦点在x轴上的