函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.docx

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函数对称性、周期性和奇偶性
关岭民中数学组
( 一) 、同一函数的函数的奇偶性与对称性： （奇偶性是一种特殊的对称性）
1、奇偶性 : （1） 奇函数关于（ 0， 0）对称，奇函数有关系式 f (x) f ( x) 0
（2）偶函数关于 y（即 x=0）轴对称，偶函数有关系式 f ( x) f (x)
2 、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性
（1）函数的轴对称：
函数
y
f (x) 关于 x a 对称
f (a x)
f (a
x)
f (a
x)
f (a
x) 也可以写成 f ( x) f (2a
x)
或 f ( x)
f (2a
x)
若 写 成 ： f ( a x) f (b
x) ， 则 函 数 y
f ( x)
关 于 直 线
x
(a x) (b
x) a
b 对称
2
2
证 明 ： 设 点 ( x1, y1 ) 在 y
f (x) 上 ， 通 过 f ( x)
f (2a x) 可 知 ，
y1 f ( x1 ) f (2a
x1 ) ，即点 (2a
x1 , y1 )也在 y
f ( x) 上，而点
(x1 , y1 ) 与点 ( 2a
x1 , y1 ) 关于 x=a 对称。得证。
说明：关于 x
a 对称要求横坐标之和为
2a ，纵坐标相等。
∵ (a
x1 , y1 )与(a
x1, y1 ) 关于 x
a 对称，∴函数 y
f ( x) 关于 x
a 对称
f (a
x) f (a
x)
∵ ( x1 , y1 )与(2a
x1, y1 ) 关于 x
a 对称，∴函数
y
f ( x) 关于 x
a 对称
f ( x) f ( 2a x)
∵ ( x1 , y1 )与(2a x1 , y1) 关于 x a 对称，∴函数 y f ( x) 关于 x a 对称
f ( x) f (2a x)
（ 2）函数的点对称：
函数 y f (x) 关于点 ( a, b)对称
f (a
x)
f (a x)
2b
上述关系也可以写成 f (2a x)
f ( x)
2b 或
f ( 2 a
x ) f ( x )
2b
若写成： f (a x) f (b
x) c ，函数 y
f ( x) 关于点 ( a
b , c ) 对称
2
2
1
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证明：设点 (x1 , y1 ) 在 y
f ( x) 上，即 y1
f ( x1 ) ，通过