ch13.ppt.ppt.ppt

上次课小结一、数列极限:?唯一性?有界性?定义:?几何意义:, lim ax nn???二、收敛数列的性质.,,0,0?????????axNnN n 恒有时使x 1x 2x 2?Nx 1?Nx 3x ?2??a ??aa ?保号性?与子列的关系说明 ,关键是由任意给定寻找 N:,0?? : 不唯一。取 N=[g( ?)]+ 任一正整数,都可保证 n > g( ?),故N不唯一,但不必要求最小的 N. |x n-a |<?解出 n> g(?);2)取 N =[g(?)] ??>0, 要使|x n-a |<?,即: ……,只要使 n >g( ?), 取 N=[g( ?)],当n >N 时, |x n -a |<?,∴…… |x n-a |<?直接求解 n不好解时,可适当放大不等式,如使: |x n-a |<f(n )< ?,由f(n )< ?求解 n。第一章第三节函数的极限 1、自变量趋于有限值 x 0时函数的极限 0)1(xx??? 0)2(xx ?? 0)3(xx ?? x)4( ??? x)5( ??? x)6(考察函数 f ( x )自变量变化过程的六种形式. 2、自变量趋于无穷大时函数的极限 1、自变量趋于有限值时函数的极限引例. 测量正方形面积. 面积为 A ) 边长为(真值: ; 0x 边长面积 2x 直接观测值间接观测值任给精度?, 要求???Ax 2 确定直接观测值精度?:??? 0xx 0xA x一、自变量趋于有限值时函数的极限,)(xfy?对 0)1(xx??? 0)2(xx ?? 0)3(xx 如果当 x无限地接近于 x 0时?函数 f(x)的值无限地接近于常数 A?则常数 A就叫做函数 f(x)当x?x 0时的极限?记作 1. 函数极限的定义分析:当x?x 0时?f(x)?A??当|x-x 0|?0时?|f(x )-A|?0??当|x-x 0|小于某一正数?后?|f(x )-A|能小于给定的正数???任给??0?存在??0?使当|x-x 0|??时?有|f(x )-A|??? 0 lim xx ?f(x) ?A或 f(x) ?A(当 x ? 0x) ?定义 1 .设函数)(xf 在点 0x 的某去心邻域内有定义,,0???,0???当???? 00xx 时, 有???Axf)( 则称常数 A为函数)(xf当 0xx?时的极限,Axf xx??)( lim 0 或)()( 0xxAxf??当即,0???,0???当),( 0?xUx ??时, 有若记作???Axf)( Axf xx??)( lim 0极限存在函数局部有界(P36 定理 2) 这表明: ??A??A 几何解释:O Ax 0x y)(xfy?注 1)表示时有 00xx?? 0 0,xxxx???)(xf 2) ?任意给定后,才能找到?, ??依赖于?,一般的?越小, ?越小. 3) ?不唯一,也不必找最大的,只要存在即可. )( 0xf无极限与有无定义没有关系. 例1 . 证明)( lim C xx??证:Axf?)(CC?? 0?故,0???可任取,0??当???? 00xx 时, ????0CC xx?? 0 lim 总有例 )12( lim 1???x x 证: f(x) A ?( ) (2 1) 1 f x A x ? ??? 12??x 欲使,0???取,2 ???则当????10x 时, 必有??????1)12()(xAxf 因此只要,2 1 ???x1)12( lim 1???x x ( ) , f x A ?? ?用定义证明函数极限的一般步骤: 例 3. 证明21 1 lim 21????x x x 证:Axf?)( 21 1 2????x x21???x 故,0???取,???当????10x 时, 必有?????21 1 2x x 因此21 1 lim 21????x x x1??x 注:函数在点 x =1 处没有定义. f x A x x g g x x f x A 00 1. ( ) , ( ) 2. ( ), 0 ( ) ? ?? ? ??? ? ??? ?? ??由解出; 取=当时,成立。注:有时须适当放大不等式。