第八讲-.ppt

在 上严格单增的充分必要条件是:
且
定理
若函数 在 上连续,
在 内可导,
则
的任意子区间上不恒为零.
在
证
函数的图形与极值问题
由极限的保号性易知
假设
由微分中值定理,
在 为常数.
矛盾!
假设
因为
所以
在 上单调增加.
则
在 恒为0.
矛盾!

(1)讨论函数 的单调性.
解
区间
严格减
严格增
严格减
严格增
当 时,
(2)证明当 时,
证
记
则
所以
又因为
所以
即
(3)证明当 时,
证
考虑函数
不妨设
即
即
(4)已知 在 上单调增加,
试证
函数 在 上单调增加.
证
所以只需证明
因为 在 上单调增加,
所以
因为
所以
即
若函数 在 连续,
定理(第一充分条件)
且 在
的两侧异号,
则 是 的极值点.
证
不妨设
由Lagrange定理,
即
同理,
所以 是极大点.
3
定理(第二充分条件)
若
则 是
且当 时,
且
的极值点．
是 的极小点,
当 时,
是 的极大点.
证
若
则
由第一充分条件的证明过程知,
是极大点.
同理,
若
则 是极小点.

求 的极值点.
解
令
解得
所以,
极值点为:
极大点
极小点
已知

求 与 的极值．
解
的驻点
在 的驻点上,
极小值
所以 是极小点.
的驻点是
所以
是极小点,
极小值为
最值点的“必要条件”:
设
则下列情况之一成立:
是 的
最值点.
(1) 是端点,
(2) 是
驻点,
(3) 是不可导点.
不妨设
在 处,
成为
这与 是极大值矛盾．

已知
在 内 二阶可导.
且满足
试证明
证
使得 是所有函数值中的最大值.
假设
由于函数
在 上连续.
所以存在最大值.
即
从而
定理
若函数 在 上连续,
且有唯一的极值点
则 是 在 上的最值点.
证
不妨设 是极大点.
则
假设 不是最大点,
存在 使得
不妨设
因为 是极大点,
所以 使得
函数 在 上连续,
有最小点
从而得到另一个极值点----极小点
矛盾!
注
若将条件改为:
且有唯一的驻点
能否推出
是 在 上的最值点
？
NO!
两条河道垂直,
宽分别为 a, b.
一艘船要想从一条河道进入另一条河道.
其长度不能超过多少?
解
如图, 问题等价于求图中斜线长度的最小值．
唯一驻点
满足:
由上面的定理知,
的最小值为
所以 是唯一极小点.
下(上)凸
设函数 在 有定义.
若
则称函数 在 是下(上)凸的.

函数 是下凸函数.
定理
函数 是 上的下凸函数的充要条件是:
证
记
则
是 上的下凸函数,
所以
即
由 得,
即