高中平面向量知识点总结.doc

平面向量
1、 向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量
2、 向量的表示方法
（1）几何表示：以A为起点，以B为终点的有向线段记作，如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量.
（2）字母表示：印刷时 粗黑体字母 a， b， c…向量
手写时 带箭头的小写字母 ，…
3、向量点的长度（模）
向量的大小叫做向量的长或模，记作||、｜｜
4、零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行
＝｜｜＝0
单位向量：模为1个单位长度的向量
向量为单位向量｜｜＝1
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量
记作∥
5、相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为
即大小相等，方向相同
6、 对于任意非零向量的单位向量是 .
7、向量的加法
（1）三角形法则
设，则+==
对于零向量与任意向量的和有
（2）平行四边形法则
已知两个不共线的向量，，做，则A、B、D三点不共线，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=+.
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
，但这时必须“首尾相连”．
8、向量加法的运算律
（1）交换律 +=+
（2）结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
9、向量的减法
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
图：
10、相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量. 记作
（1）=，即与互为相反向量；
（2）若、是互为相反向量，则=,=,+=；
（3）+()=()+=；
（4）零向量的相反向量仍是零向量
（5）对于用起点和终点表示的向量，则有= —BA,即和- BA互为相反向量
11、已知向量α，b，则| |α|-|b| ||α|| b|
12、向量数乘运算
实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时， 与同向
当时， 与异向
当或=时，，方向是任意的
13、向量数乘的运算律
（1） λ(μ) =(λμ)
（2）(λ+μ) =λ+μ
（3）λ（+）=λ+λ
（4）（—λ）= —（λ）=λ（—）
λ（—）=λ-λ
14、向量共线判定定理
当向量，对于向量，如果有一个实数，使=，那么 共线.
向量与向量（）共线有且只有一个实数，使得=.
15、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量、以及任意实数λ、1 2 恒有（12）=1+2
16、平面向量的基本定理
如果是一个平面的两个不共线向量，那么对这一平面的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面所有向量的一组基底
17、 两向量夹角围[0] 0 同向
图 同向
垂直，记为
18、平面向量的正交分解
把一个向量分解成两个互相垂直的向量
19、平面向量的坐标表示
（1）直角坐标
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面的的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使=x i+y j，则把有序数对（x，y）叫做向量的坐标。
（2）坐标表示
在向量的直角坐标中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，=（x，y）叫做向量的坐标表示。
（3）在向量的直角坐标中，i=（1,0） j=（0,1） =（0,0）
20、若和实数λ
（1）
=(x1, y1)
若，则=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1, y2-y1)
21、向量平行条件
（1）若，
（2）若，如果不平行于坐标轴，即x2 y2 ，则
// 即两个向量平行的条件是成比例（注意此时x2·y2）
22、向量的数量积
已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos
其中是与的夹角，︱︱cos叫做向量在方向上的投影。
规定
23、数量积的几何意义
·等于的长度︱︱与在方向上的投影︱︱cos的乘积
24、与都是非零向量，它们的夹角为
（1） ·= 0
（2）同向时 ·