刚体上的点的速度与加速度.pdf

第二章刚体运动学
平面运动
§2-3 刚体平面运动
定义:刚体上所有点的运动始终平行于某个固定平面。例如,刚体定轴转动就是平面运动的一种。刚体在此平面上的投影形成是一个平面图形,只要知道这个平面图形的运动,刚体的运动就完全知道了。
X
y
x
Y
o
p
速度公式,加速度公式
设 O 是平面图形上的一点,其运动已知。选它为基点建立平动坐标系 OXY 和固联坐标系 Oxy , 则任意点 p 的速度和加速度为:
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平面运动
若 O 点是平面图形上的固定点,则该平面运动就是
定轴转动。这时是切向加速度, 是
向心加速度。在 O 点速度不为零时,我们可以认为
这两项是相对 O 点的切向加速度和向心加速度。
X
Y
o
p
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平面运动
瞬心
定理:如果在给定时刻平面图形不作瞬时平动,则在此瞬时平面图形(或其延拓部分)上存在唯一的一点,其速度为零,而其它点的速度就象整个平面图形绕着这一点转动一样。该点称为瞬时速度中心,简称瞬心。
证明:设,则
显然只要,则有唯一解。证完。
以瞬心为基点的速度公式为:
瞬心是给定时刻平面上速度为零的点,这一点的位置是随时间变化的。瞬心在固定坐标系中的轨迹叫做定瞬心轨迹,在固连的动坐标系中的轨迹称为动瞬心轨迹。
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平面运动
如何求瞬心?1)几何法(如图所示),2)解析法
B
A
c
c
B
A
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平面运动
定理:在平面运动中,在某个时刻只要角速度和角加速度有一个不为零,则平面图形(或其延拓部分)上存在唯一的点,其加速度等于零。该点称为瞬时加速度中心。
证明:设, 则该点加速度为:
显然只要,则有唯一解。证完。
以加速度瞬心为基点的加速度公式为:
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平面运动
刚体平面运动的分析方法
梯子AB长 l,一端靠在墙上,
如图所示。如将梯子下端 A 以等速
u 向右水平地拖动。求当梯子与墙
的夹角为30度时,B 点的加速度和
杆的角加速度,并用 l 及 u 表示。
B
A
u
l
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平面运动
方法一:基点法
B
A
u
l
O
y
x
以 A 为基点,按加速度公式有
若取如图的固联坐轴标和
则上式可写成为
这个向量式相当于两个方程,要从中解出需知道。
利用速度公式可类似地得到一个向量式,可从中解出:
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平面运动
方法二:瞬心法
根据已知条件,杆的瞬时速度中心位于图中的 C 点。
由速度公式得
由 A 点加速度等于零可知, A 点为
瞬时加速度中心。
B
A
u
l
O
y
x
C
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平面运动
方法三:直接求导法
设 OB=y(t) , OA=ut ,
则有:
B
A
u
l
O
y
x
根据定义可知:在任意时刻
当时,
具体运算如下:
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平面运动
为了得到 y 的两次导数,可以对下式求导两次: