高中文科数学立体几何知识点总结.doc

l
l // m
立体几何知识点整理（文科）
m l // m
一． 直线和平面的三种位置关系：
α
l
线面平行
方法二：用面面平行实现。
l
//
l // α
l 符号表示：
线面相交
l
β
l
α
A
α
方法三：用平面法向量实现。
符号表示：
线在面 n
l
若 n 为平 面 的 一个法 向量，
n l 且 l ,则 l // 。 l
α
α
符号表示：
二． 平行关系：
线线平行：
l
方法一：用线面平行实现。
l //
l l // m
m
面面平行：
方法一：用线线平行实现。
l // l '
α
l
β m
l'
m'
m
m//
l ,m
m'
且相交
//
方法二：用面面平行实现。
l ', m'
且相交
l //
β
l l // m γ
m m
α
方法二：用线面平行实现。
方法三：用线面垂直实现。
l //
若l ,m ，则 l // m 。
m // //
方法四：用向量方法：
l ,m
且相交
β
l
m
若向量 l 和向量 m 共线且 l、m 不重合，则l // m 。
α
线面平行：
方法一：用线线平行实现。
1 / 11
l
A
α
C
B
方法三：用向量方法：
若向量 l 和向量 m 的数量积为 0，则 l m 。
三．垂直关系：
三． 夹角问题。
线面垂直：
(一)异 面直线所成的角：
方法一：用线线垂直实现。
(1) 围： (0 ,90 ]
l AC
l
AB
AB
AB
AC
AC,
A
l
(2)求法：
方法一：定义法。
步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。
P
n
A θ O
α
方法二：用面面垂直实现。
步骤 2：解三角形求出角。 (常用到余弦定理 )
余弦定理：
β
l
m l
a
c
m
l m, l
cos
2
a
2
b
2ab
c
2
θ
b
α
(计算结果可能是其补角 )
面面垂直：
方法二：向量法。转化为向量
方法一：用线面垂直实现。
C
的夹角
β l
l
θ
( ) 计算结果可能是其补角 ：
l
A
B
α
AB AC
AB AC
cos
方法二：计算所成二面角为直角。
(二)线面角
线线垂直：
(1) 定义：直线 l 上任取一点 P（交点除外） ，作
方法一：用线面垂直实现。
m
l
l
m
l m
PO 于 O,连结 AO ，则 AO 为斜线 PA 在面
的射影， PAO (图中 )为直线 l 与面 所成的角。
α
P
方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO
P
θ
A O
α
A O
l
α
l OA l PA
l
(2) 围： [0 ,90 ]
2 / 11
0 l l //
当 时， 或
当 90 时， l
n1
n2
θ
(3)求法：
方法一：定义法。
步骤 1：作出线面角，并证明。
步骤 2：解三角形，求出线面角。
步骤一：计算
cos
n n
1 2
n n
1 2
n n
1 2
(三)二 面角及其平面角
步骤二：判断 与
n n 的关系，可能相等或
1 2
(1)定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平面分别作
者互补。
l 的垂线（射线） m、n，则射线 m 和 n 的夹角 为
四． 距离问题。
二面角 —l— 的平面角。
1．点面距。
方法一：几何法。
m
P
l P
n
A O
(2)围： [0 ,180 ]
步骤 1：过点 P 作 PO 于 O，线段 PO 即为所求。
步骤 2：计算线段 PO 的长度。 (直接解三角形；等
(3)求法：
体积法和等面积法；换点法 )
方法一：定义法。 2．线面距、面面距均可转化为点面距。
步骤 1：作出二面角的平面角 (三垂线定理 )，并证明。
3．异面直线之间的距离
步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法一：转化为线面距离。
方法二：截面法。
m
步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面 和 ，
n
则交线 (射线 )AP 和 AO 的夹角就是二面角。
如图， m 和 n 为两条异面直线， n 且
步骤