第三章、逐次逼近法.doc

第三章 逐次逼近法

1、一元迭代法xn+1=φ(xn)收敛条件为：
1）映内性x∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L∣x-y∣其中L＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法xn+1=φ(xn)收敛条件为：
1）映内性xn∈Ω，φ(xn) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为xn处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x)= Bx+f时，收敛条件为，ρ（B）＜1，此时xn+1= Bxn+f，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换
Jacobi迭代公式的矩阵形式
Gauss-Seidel迭代公式的矩阵形式
超松弛迭代法公式的矩阵形式
三种迭代方法当时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A严格对角占优，则Jacob法和Gauss-Seidel法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A不可约对角占优，则Gauss-Seidel法收敛。
7、Newton迭代法，单根为二阶收敛
8、Newton法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m， 仍为二阶收敛
9、弦割法 ，分半法的收敛速度为（b-a）/2n-1
10、Aitken 加速公式
典型例题分析
1、证明如果A严格对角占优，则Jacob法和Gauss-Seidel法都收敛。
证明：首先证Jacob法收敛，因为A严格对角占优，则，于是
，从而，这又有，因此Jacob迭代法收敛。
再证G-S法收敛，因为，，非奇异，而，所以，从而严格对角占优矩阵一定可逆。
在G-S法中，，从而，求矩阵特征值时，
只能是，因为A严格对角占优，，如果，两边乘，这说明矩阵仍然严格对角占优，前面已证明，该行列式不能为0，这是一个矛盾。因此，只能是，而这恰好说明Gauss-Seidel迭代法收敛。
2、证明：如果A的对角元非零，超松弛迭代法收敛的必要条件是
证明：令，如果超松弛迭代法收敛，应该有
而，
从而必须满足。
3、分析方程2x-3x+4x-5x+6x-7x+8x-9x+10x=10是否有实根，确定根所在的区间，写出求根的Newton迭代公式,并确定迭代的初始点。
解：
因此该方程在[1,2]有且仅有一个实根，Newton迭代公式为
/（），x0= 即可
4、由求的Newton 迭代公式
证明：对一切 是递减序列。
证明：首先，如果中的xk>0 ，于是
。又因为k=1开始
5、若f(x)在零点ξ的某个邻域中有二阶连续导数，并且f’(ξ)≠0，试证：由Newton迭代法产生的xk(k=0,1,2,…)有
证明：由Taylor公式，
6、证明：A∈Cn*n,对任意范数有，
证明：首先存在某种范数 所以
，取 得到
，对不等式同时取极限即得到
再根据范数的等价性 对不等式同时取极限即得到对任意范数有结果
7、确定常数p,q,r，使如下迭代法收敛到，该方法至少几阶？
解：，一个迭代格式，在根附近它的p-1阶导数为零，就至少有p阶收敛速度
习题解答
判断正误、选择和填空：
1）、对于迭代过程，xn+1=φ(xn)，若迭代函数在x* 的邻域有连续的二阶导数，且，则迭代过程为超线性收敛。
（不正确），xn+1=φ(xn)的迭代收敛条件有两条，1）映内性xn∈[a,b]，φ(xn) ∈[a,b] 2）压缩性。更不能保证有超线性收敛，例如：
用Newton迭代法求任何非线性方程 均局部平方收敛。（不正确）
若线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 为严格对角占优，则Jacobi迭代法和G-S迭代法都收敛。（正确）
解非线性方程f(x)=0的弦解法迭代具有（局部超线性敛速 ）。
局部平方收敛；（B）局部超线性收敛；（C）线性收敛
任给初始向量x(0)及右端向量f，迭代法x(k+1)=Bx(k)+f收敛于方程组Ax=b的精确解x*的充要条件是（
）。
设φ(x)=x-β(x2-7)，要使迭代法xk+1=φ(xk)局部收敛到x*=，则β取值范围是（）。
用迭代法xk+1=xk-λ(xk)f(xk)求f(x)=x3-x2-x-1=0的根，若要使其至少具有局部平方收敛，则（）。

用二分法求x3-2x-5=0在[2，3]内的根，并要求，需要迭代（18）步。
求f(x)=5x-ex=0在[0，1的根，迭