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对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
三、对坐标的曲面积分的计算法
四、两类曲面积分的联系
第八章
第三节 曲面积分
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其方向用法向量指向
• 设  为有向曲面,
有向曲面,
表示 :
其面元
在xoy面上的投影记为
的面积为
则规定
类似可规定
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注意：
　　小曲面块⊿S往某坐标平面上投影时，
⊿S上各点的法向量的相应的方向余弦应保号
（否则应对⊿S再分块）。
如Σ ： ， 往平面xOy投影时应分成上下两块
Σ1: ；
Σ2:
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二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面  的流量 .
分析: 若  是面积为S 的平面,
则流量(设体密度为1)就为斜柱体体积
法向量:
流速为常向量:
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对一般的有向曲面 ,
用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
对稳定流动的不可压缩流体的
速度场
进行分析可得
, 则
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设为光滑的有向曲面, 在上定义了一个
意分割和在局部面元上任意取点,
分,
记作
P, Q, R 叫做被积函数;
 叫做积分曲面.
或第二类曲面积分.
下列极限都存在
向量场
若对的任
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积
2. 定义.
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引例中, 流过有向曲面  的流体的流量为
称为Q在有向曲面上对 z, x的曲面积分;
称为R在有向曲面上对 x, y的曲面积分.
称为P在有向曲面上对 y, z的曲面积分;
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三、对坐标的曲面积分的计算法
定理: 设光滑曲面
取上侧,
是  上的连续函数, 则
证:
∵ 取上侧,
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• 若
则有
• 若
则有
(前正后负)
(右正左负)
说明:
如果积分曲面  取下侧, 则
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